Temos a seguinte equação diferencial:
[tex]x dy - y {}^{2} dx = 0[/tex]
Note que é uma EDO de variáveis separáveis, portanto vamos iniciar fazendo essa separação:
[tex]xdy = y {}^{2} dx \to \frac{dy}{y {}^{2} } = \frac{dx}{x} \\ [/tex]
Integrando ambos os lados da equação:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int \frac{dy}{y {}^{2} } = \int\frac{\: dx}{x} \\ [/tex]
Ambas integrais são de fácil resolução, pois a primeira trata-se da regra da potência e a segunda uma integral já conhecida que é dada pelo logarítmo natural da variável:
[tex] \int y {}^{ - 2}dy = \ln( |x| ) \longrightarrow \frac{y {}^{ - 2 + 1} }{ - 2 +1 } = \ln( |x| ) \\ \\ \frac{y {}^{ - 1} }{ - 1} = \ln( |x| ) \longrightarrow - \frac{1}{y} = \ln (|x| ) + c \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
Isolando y:
[tex] - \frac{1}{y} = \ln(x) + c \to \: y = - \frac{1}{ \ln( |x| ) + c} \\ [/tex]
Espero ter ajudado
