Olá, boa noite.
Devemos determinar a função [tex]y=y(x)[/tex] sabendo que [tex]\dfrac{dy}{dx}=x^3+x^2[/tex].
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Sua solução é a família de funções [tex]y=y(x)[/tex].
Então, integramos ambos os lados da igualdade em respeito à variável [tex]x[/tex]:
[tex]\displaystyle{\int \dfrac{dy}{dx}\,dx=\int x^3+x^2\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int dy=\int x^3+x^2\,dx}[/tex]
Para calcular estas integrais, lembre-se que:
Aplique a regra da soma e reescreva [tex]\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}[/tex]
[tex]\displaystyle{\int y^0\,dy=\int x^3\,dx+\int x^2\,dx}[/tex]
Aplique a regra da potência
[tex]\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=\dfrac{x^{3+1}}{3+1}+\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+C_2[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores
[tex]\dfrac{y^1}{1}+C_1+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2\\\\\\ y+C_1+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2[/tex]
Subtraia [tex]C_1[/tex] em ambos os lados da igualdade e considere [tex]C_2-C_1=C[/tex], uma constante arbitrária.
[tex]y=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C_2-C_1\\\\\\ y(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}+C,~C\in\mathbb{R}[/tex]
Esta é a família de equações que é solução desta equação diferencial ordinária.
