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Sagot :
Temos a seguinte equação diferencial:
[tex] \: \: \: \: \sf \: \bullet \:y''- 2y' + y = sen(2x) \: \bullet[/tex]
Para resolver esta equação, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar, pois o método da variação de parâmetros geraria uma integral um pouco complexa de se resolver. Para utilizar este método, devemos "chutar" uma solução particular baseada na função que se encontra após a igualdade. Pelas tabelas, sabemos que a solução particular levando em conta a expressão sen(2x), é:
[tex] \sf sen(ax) = A.cos(ax) + B.sen(ax)[/tex]
Antes de calcularmos a solução particular em si, é necessário lembrar que esta equação diferencial de segunda ordem é não homogênea, ou seja, a solução geral da mesma, é dada por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf y_g= y_h + y_p }[/tex]
Sendo yh a solução da equação homogênea associada e yp a solução particular. Dado que a solução particular se baseia na solução listada anteriormente, vamos iniciar pela homogênea associada que é menos complexa:
[tex] \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: y''- 2y' + y = 0\\ [/tex]
Utilizando o método dos coeficientes constantes:
[tex] \sf m {}^{2} - 2 m + 1 = 0 \: \to \: m_{1,2} = 1[/tex]
Dado que a solução possui duas raízes reais e iguais, devemos utilizar o caso de solução 2:
[tex] \sf \bullet \: caso \: 2 : \\ \sf y_h = c_1.e {}^{m_1 \: x \: } + c_2.x {e}^{m_2 \: x \: } [/tex]
Substituindo os dados, temos então que:
[tex] \: \: \: \: \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf y_h = c_1.e {}^{x } + c_2.x {e}^{ x } }}}[/tex]
Agora vamos encontrar a solução particular, para isso, devemos derivar a solução proposta anteriormente duas vezes, já que a equação é de segundo grau. Fazendo isso:
[tex] \sf y_p = A.cos(2x) + B.sen(2x) \\ \\ \sf y'_p = A.( - sen(2x)).(2) + B.cos(2x).2 \\ \sf y'_p = - 2A. sen(2x) + 2B.cos(2x) \\ \\ \sf y''_p = - 2 A.cos(2x).2 + 2B.( - sen(2x)) \\ \sf y''_p = - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x)[/tex]
Tendo feito isso, agora vamos substituir esses dados na equação diferencial fornecida:
[tex]\sf \underbrace{ - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x))}_{y''_p}- \underbrace{ 2(- 2A. sen(2x) + 2B.cos(2x) ) } _{y'_p} + \underbrace{A. cos(2x) + B.sen(2x) }_{y_p} = sen(2x) \\ \\ \sf - 4 A.cos(2x) - 4B.sen(2x) + 4 A.sen(2x) - 4B.cos(2x) + A. cos(2x) + B.sen(2x) = sen(2x) \\ \\ \sf - 3 A .cos(2x) - 3 B.sen(2x) + 4 A.sen(2x) - 4B.cos(2x) = 0.cos(2x) + sen(2x) \\ [/tex]
Montando um sistema e igualando os termos Cos(x) com os termos Cos(x) e do mesmo jeito com o Sen(x):
[tex] \begin{cases} \sf cos(2x).[ - 3 A - 4B] = 0 \: . \: cos(2x) \\ \sf sen(x). [ - 3 B + 4A ] = 1 \: . \: sen(2x)\end{cases} \\ \\ \begin{cases} \sf - 3 A - 4B = 0 \\ \sf - 3 B + 4A = 1\end{cases}[/tex]
Resolvendo pelo método da adição, chegamos aos seguintes valores:
[tex] \sf A = \frac{4}{25} \: \: \: e \: \: \: B = - \frac{3}{25} \\ [/tex]
Portanto, a solução particular é:
[tex] \sf y_p = \frac{4}{25} .cos(2x) - \frac{3}{25} .sen(2x) \\ [/tex]
Juntando as duas soluções para obter a solução geral da equação diferencial:
[tex] \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: y_g = y_p + y_h \\ \sf \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf y_g = \frac{4}{25} .cos(2x) - \frac{3}{25} sen(2x) +c_1.e {}^{x} + c_2.xe {}^{x} }}}[/tex]
Esta é a solução geral, espero ter ajudado.
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