Derivadas de Funções Trigonométricas
Em particular, é importante lembrar-se de que quando
falamos sobre a função f definida para todo o número
real x por
f(x) = sen x
entende-se que sen x significa que o seno do ângulo cuja
medida em radianos é x. Uma convenção similar é adotada
para as outras funções trigonométricas cos, tg, cossec, sec
e cotg. Todas as funções trigonométricas são contínuas
em todo número em seus domínios.
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Se esboçarmos o gráfico da função f(x) = sen x e usarmos
a interpretação de f (x) como a inclinação da tangente à
curva do seno a fim de esboçar o gráfico de f , isso dará a
impressão de que o gráfico de f pode ser igual à curva do
cosseno (veja a Figura 1).
Figura 1
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Vamos tentar confirmar nossa conjectura de que, se
f(x) = sen x, então f (x) = cos x. Da definição da derivada,
temos
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Dois desses quatro limites são fáceis de calcular. Uma vez
que consideramos x uma constante quando calculamos um
limite quando h 0, temos
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O limite de (sen h)/h não é tão óbvio. Fizemos a
conjectura, com base nas evidências numéricas e gráficas,
de que
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Usamos agora um argumento geométrico para demonstrar
a Equação 2. Suponha primeiro que se encontre entre 0
e /2. Figura 2(a) mostra um setor do círculo com o centro
O, ângulo central e raio 1. BC é traçado
perpendicular a OA.
Pela definição de medida em
radianos, temos arc AB = .
Além disso,
|BC| = |OB| sen = sen .
Figura 2(a)
