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Calcule a área da superfície limitada pela curva F(x) = -x²+8X-7 pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8

Calcule A Área Da Superfície Limitada Pela Curva Fx X8X7 Pelo Eixo Dos X E Pelas Retas X 5 E X 8 class=

Sagot :

SubGui

Olá, bom dia.

Devemos calcular a área da região compreendida entre a curva [tex]f(x)=-x^2+8x-7[/tex] e o eixo [tex]x[/tex], delimitada pelas retas [tex]x=5[/tex] e [tex]x=8[/tex].

Seja [tex]R[/tex] a região compreendida entre as curvas [tex]y=f(x)[/tex] e [tex]y=g(x)[/tex], contínuas e integráveis no intervalo fechado delimitado pelas retas verticais [tex]x=a[/tex] e [tex]x=b[/tex], onde [tex]f(x)>g(x)[/tex]. A área desta região é calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].

Então, observe que neste intervalo, há um ponto onde a função atravessa o eixo [tex]x[/tex]. Isto significa que a área sob o gráfico da função troca de sinal e, portanto, não calculará a área total desta região.

Sendo assim, a área total será calculada pela integral:

[tex]\displaystyle{\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx}[/tex]

Por isso, devemos calcular duas integrais. Considere [tex]x=c[/tex] o ponto onde a função cruza o eixo, isto é, [tex]f(x)[/tex] passa a ser menor que [tex]g(x)[/tex], fazemos:

[tex]A_{total}=\displaystyle{\int_a^cf(x)-g(x)\,dx+\int_c^b g(x)-f(x)\,dx}[/tex]

Ao observarmos o gráfico da função, em anexo, facilmente descobre-se que este ponto é [tex]x=7[/tex]. Substituindo as funções e os limites de integração, temos:

[tex]A_{total}=\displaystyle{\int_5^7-x^2+8x-7-0\,dx+\int_7^80-(-x^2+8x-7)\,dx}\\\\\\ A_{total}=\displaystyle{\int_5^7-x^2+8x-7\,dx+\int_7^8x^2-8x+7\,dx}[/tex]

Para calcular estas integrais, lembre-se que:

  • A integral é um operador linear, logo vale que: [tex]\displaystyle{\int h(x)+j(x)\,dx=\int h(x)\,dx+\int j(x)\,dx}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int k\cdot l(x)\,dx=k\cdot \int l(x)\,dx}[/tex].
  • A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1[/tex].
  • As potências [tex]x=x^1[/tex] e [tex]1=x^0[/tex].
  • A integral definida de uma função [tex]f(x)[/tex], contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].

Aplique a linearidade

[tex]\displaystyle{-\int_5^7x^2\,dx+8\cdot\int_5^7x\,dx-7\cdot\int_5^7x^0\,dx+\int_7^8x^2\,dx-8\cdot\int_7^8x\,dx+7\cdot\int_7^8x^0\,dx}[/tex]

Aplique a regra da potência

[tex]\left(-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+8\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-7\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right)~\biggr|_5^7+\left(\dfrac{x^{2+1}}{2+1}-8\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+7\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}\right)~\biggr|_7^8[/tex]

Some os valores nos expoentes e denominadores e aplique os limites de integração

[tex]-\dfrac{7^3}{3}+4\cdot7^2-7\cdot7-\left(-\dfrac{5^3}{3}+4\cdot5^2-7\cdot5\right)+\dfrac{8^3}{3}-4\cdot8^2+7\cdot8-\left(\dfrac{7^3}{3}-4\cdot7^2+7\cdot7\right)[/tex]

Calcule as potências, multiplique e some os valores

[tex]-\dfrac{343}{3}+4\cdot49-49-\left(-\dfrac{125}{3}+4\cdot25-35\right)+\dfrac{512}{3}-4\cdot64+56-\left(\dfrac{343}{3}-4\cdot49+49\right)\\\\\\ -\dfrac{343}{3}+196-49-\left(-\dfrac{125}{3}+100-35\right)+\dfrac{512}{3}-256+56-\left(\dfrac{343}{3}-196+49\right)\\\\\\ -\dfrac{343}{3}+196-49+\dfrac{125}{3}-100+35+\dfrac{512}{3}-256+56-\dfrac{343}{3}+196-49\\\\\\ \dfrac{38}{3}~~\bold{u.~a}~~\checkmark[/tex]

Esta é a área total da região compreendida entre as curvas neste intervalo.

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