Resposta:
Sabemos que o Lucro é igual ao ganho menos o gasto, então sabendo as equações do gasto por produto e da receita pudemos juntar tudo para ter uma função lucro, assim:
[tex]Lucro = Ganho - Gasto =\\\\(28x) - (x^3-6x^2+13x+15)=\\\\28x - x^3+6x^2-13x-15 =\\\\- x^3+6x^2+15x-15[/tex]
E ficamos com esta função que nos dá o lucro em função da produção.
Para sabermos o máximo precisamos de derivar a função lucro, que vamos chamar L(x), e igualar a 0, assim:
[tex]L'(x)=(- x^3+6x^2+15x-15)' = \\\\-3x^2+12x+15[/tex]
Agora igualamos a 0, e resolvemos:
[tex]-3x^2+12x+15 = 0 (=)\\\\ x= \frac{- 12 \pm \sqrt{12^2 - 4\times-(3)\times15} }{2\times(-3)} =\\\\ x= \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 180} }{-6}=\\\\x= \frac{- 12 \pm \sqrt{324} }{-6}=\\\\ x= \frac{- 12 + \sqrt{324} }{-6} \vee x= \frac{- 12 - \sqrt{324} }{-6}=\\\\x= \frac{- 12 + 18 }{-6} \vee x= \frac{- 12 - 18 }{-6}=\\\\x= \frac{6 }{-6} \vee x= \frac{-30}{-6} = \\\\ x= -1 \vee x = 5[/tex]
Como não existe número negativo de produtos, significa que o máximo é 5.
Mas tal como disse o x representa os produtos, e nós não queremos os produtos queremos o Lucro, que é o y, então basta substituir o x pelo 5 na função original, assim:
[tex]L(5)=- (5)^3+6\times(5)^2+15\times(5)-15=\\-125+150+75-15=\\85[/tex]
Logo o lucro máximo é de 85 unidades(devem ser reais).
(O Máximo da função está em anexo para veres que está certo)
