Olá, boa noite.
Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas e integrais.
Sejam duas funções [tex]f(x)[/tex] e [tex]g(x)[/tex], contínuas e integráveis em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex], onde [tex]f(x)\geq g(x)[/tex]. A área da região [tex]R[/tex] compreendida entre estas curvas neste intervalo é calculada pela integral: [tex]\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}[/tex].
Então, devemos determinar a área da região compreendida entre as curvas [tex]y=x^2[/tex] e [tex]y=\sqrt{x}[/tex] e as retas verticais [tex]x=0[/tex] e [tex]x=1[/tex].
Primeiro, observe que as retas verticais determinam um intervalo de integração. Assim, a área da região entre as curvas a ser calculada está limitada ao intervalo [tex][0,~1][/tex].
Agora, determinamos qual função tem imagem maior neste intervalo. Facilmente, vemos que [tex]\sqrt{x}\geq x^2[/tex] neste intervalo.
Assim, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:
[tex]\displaystyle{\int_0^1\sqrt{x}-x^2\,dx[/tex]
Para calcular esta integral, lembre-se que:
- A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: [tex]\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx[/tex].
- A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: [tex]\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C[/tex].
- O radical pode ser reescrito como uma potência de expoente fracionário: [tex]\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}[/tex].
- A integral definida de uma função [tex]f(x)[/tex] contínua e integrável em um intervalo fechado [tex][a,~b][/tex] é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: [tex]\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)[/tex], em que [tex]F(x)[/tex] é a antiderivada de [tex]f(x)[/tex].
Aplique a regra da soma
[tex]\displaystyle{\int \sqrt{x}\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_0^1}[/tex]
Reescreva o radical como potência e aplique a regra da potência
[tex]\displaystyle{\int x^{\frac{1}{2}}\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_0^1}\\\\\\\ \dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1[/tex]
Some os valores nos expoentes e denominadores
[tex]\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1[/tex]
Calcule a fração de frações e aplique os limites de integração
[tex]\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1\\\\\\ \dfrac{2\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-\dfrac{0^3}{3}\right)[/tex]
Calcule as potências e multiplique os valores
[tex]\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}[/tex]
Some os valores
[tex]\dfrac{1}{3}~\bold{u.~a}[/tex]
Esta é a área da região compreendida entre as curvas neste intervalo.
