O intervalo de peças vendidas mensalmente pela empresa em que há prejuízo é igual a 0 < p < 20 ou p > 120.
Análise de Problema
Observe a função lucro dada:
[tex]\boxed{L(p) = -p^2+140p+2400\: ; p > 0}[/tex]
Trata-se de uma função quadrática com coeficiente do termo [tex]x^{2}[/tex] igual a [tex]a=-1[/tex]. Logo, o gráfico dessa função é parábola com concavidade voltada para baixo.
Podemos afirmar então que, caso a função lucro seja negativa, a empresa irá ter prejuízo. Logo, para valores de [tex]p[/tex] que sejam menores ou maiores que as raízes a função será negativa.
Raízes da Função
As raízes da função podem ser calculadas pela Fórmula de Bhaskara:
[tex]p = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c } }{2 \cdot a} \\\\p = \dfrac{-140 \pm \sqrt{(140)^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 2400 } }{2 \cdot (-1)} \\\\p = \dfrac{-140 \pm \sqrt{10000} }{-2} \\\\p = \dfrac{-140 \pm 100}{-2} \\\\p_{1} =20 \text{ ou } p_{2} =120[/tex]
Para valores entre as raízes, a função será positiva. Para valores menores que [tex]p_{1}[/tex] ou maiores que [tex]p_{2}[/tex] a função será negativa. Logo, para o intervalo:
[tex]\boxed{\boxed{S=\{ p \in Z / \: 0 < p < 20 \cup p > 120 \}}}[/tex]
A empresa apresentará prejuízo.
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Espero ter ajudado, até a próxima :)
