O maior desafio nesse exercício está em encontrar as raízes desse polinômio de quinto grau.
Se você tem uma calculadora científica em seu poder, não fica tão difícil inferir que:
[tex]X_1 = 2 \cdot j [/tex]
[tex]X_2 = -2 \cdot j [/tex]
[tex]X_3 = \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]X_4 = j[/tex]
[tex]X_5 = -j[/tex]
Onde: [tex]j = \sqrt{-1}[/tex], a constante complexa.
Agora, no caso em que não seja permitido o uso de calculadora, teria de usar alguma ferramenta de cálculo numérico para chegar a esses valores.
Um outro método seria por tentativa e erro. Como o exercício sugere que algumas raízes podem ser complexas, então poderia tentar j primeiro:
[tex]P(j) = 2 \cdot j^5 - 3 \cdot j^4 + 10 \cdot j^3 - 15 \cdot j^2 + 8 \cdot j - 12[/tex]
[tex]P(j) = 2 \cdot j - 3 \cdot 1 + 10 \cdot (-j) - 15 \cdot (-1) + 8 \cdot j - 12[/tex]
[tex]P(j) = 2 \cdot j -3 - 10 \cdot j + 15 + 8 \cdot j - 12 = 0[/tex]
Ou seja, x = j é uma raíz. Então, você repitiria esse processo para verificar que x = -j, x = 2j e x = -2j também são raízes.
Tendo 4 raízes, resta apenas uma a descobrir. Reescrevendo o polinômio a partir das suas raízes:
[tex]P(x) = K \cdot (x - X_1) \cdot (x - X_2) \cdot (x - X_3) \cdot (x - X_4) \cdot (x - X_5)[/tex]
[tex]P(x) = K \cdot (x - j) \cdot (x + j) \cdot (x - 2\cdot j) \cdot (x + 2\cdot j) \cdot (x - R)[/tex]
Onde K é um fator constante e R é a raíz faltante:
[tex]P(x) = K \cdot (x^2 + 1) \cdot (x^2 + 4) \cdot (x - R)[/tex]
[tex]P(x) = K \cdot (x^4 + 5 \cdot x^2 + 4) \cdot (x - R)[/tex]
[tex]P(x) = K \cdot (x^5 - R \cdot x^4 + 5 \cdot x^3 - 5 \cdot R x^2 + 4 \cdot x - 4 \cdot R)[/tex]
Agora comparando com o polinômio original fica simples perceber que K = 2 e:
[tex]- K \cdot R = -3[/tex]
[tex]2 \cdot R = 3[/tex]
[tex]R = \dfrac{3}{2}[/tex]
Assim, descobre as cinco raízes.
Ok, conhecendo os valores das raízes, podemos calcular os coeficientes:
[tex]a_1 = (X_1)^2 = (2 \cdot j)^2 = 4 \cdot (-1) = -4[/tex]
[tex]a_2 = (X_2)^2 = (-2 \cdot j) = (-2)^2 \cdot j^2 = 4 \cdot (-1) = -4 [/tex]
[tex]a_3 = X_3 = \dfrac{3}{2}[/tex]
[tex]a_4 = (X_4)^2 = j^2 = -1[/tex]
[tex]a_5 = (X_5)^2 = (-1 \cdot j)^2 = (-1)^2 \cdot j^2 = -1[/tex]
Agora, podemos calcular o somatório:
[tex]k = \sum_{n=1}^5 2 \cdot a_n = 2 \cdot \left(-4 -4 + \dfrac{3}{2} -1 -1\right)[/tex]
[tex]k = -8 -8 + 3 -2 -2 = -20 + 3 = -17 [/tex]
Alternativa A
