Olá, Liziam.
Para ortonormalizar uma base devemos utilizar o Processo de Gram-Schmidt (neste caso, aplicado a polinômios) para ortogonalizá-la e, após, normalizá-la.
[tex]\{v_1(t),v_2(t),v_3(t)\}=\{1, 1 + t, 2t\²\}\\\\\boxed{u_1(t) = v_1(t) = 1}[/tex]
[tex]u_2(t) = v_2(t) - \frac{\overbrace{<v_2(t),u_1(t)>}^{\text{produto interno}}}{<u_1(t),u_1(t)>}\cdot u_1(t)=\\\\=v_2(t) - \frac{\int\limits_{-1}^{1}v_2(t)u_1(t)\,dt}{\int\limits_{-1}^{1}u_1(t)u_1(t)\,dt}\cdot u_1(t)=\\\\=1+t-\frac{\int\limits_{-1}^{1}(1+t)\cdot 1\,dt}{\int\limits_{-1}^{1}1\cdot1\,dt}\cdot1=\\\\=1+t-\frac{t|_{-1}^{1}+\frac{t^2}2|_{-1}^{1}}{t|_{-1}^{1}}=\\\\=1+t-\frac{1-(-1)+\frac12-\frac12}{1-(-1)}=\\\\=1+t-\frac22=[/tex]
[tex]\Rightarrow \boxed{u_2(t)=t}[/tex]
[tex]\boxed{u_3(t)=v_3(t) - \frac{<v_3(t),u_1(t)>}{<u_1(t),u_1(t)>}\cdot u_1(t) - \frac{<v_3(t),u_2(t)>}{<u_2(t),u_2(t)>}\cdot u_2(t)}[/tex]
O cálculo de [tex]u_3(t),[/tex] semelhante ao de [tex]u_2(t),[/tex] fica por sua conta. :)
Obtida a base de polinômios ortogonais [tex]\{u_1(t),u_2(t),u_3(t)\},[/tex] resta agora normalizá-la.
Para normalizar a base, cada um dos polinômios da base [tex]u_1(t),u_2(t),u_3(t)[/tex] deve ser dividido por sua norma.
A norma para polinômios é dada por:
[tex]||u||^2 = \int\limits_{-1}^1 [u(x)]^2\,dx[/tex]
Assim, a base ortonormalizada é dada por:
[tex]\{\frac{u_1(t)}{||u_1(t)||},\frac{u_2(t)}{||u_2(t)||},\frac{u_3(t)}{||u_3(t)||}\}[/tex]
Os cálculos relativos à normalização acima ficam também por sua conta. :)
