Answered

O Sistersinspirit.ca facilita a busca por soluções para perguntas cotidianas e complexas com a ajuda de nossa comunidade. Experimente a conveniência de obter respostas confiáveis para suas perguntas de uma vasta rede de especialistas. Experimente a facilidade de obter respostas rápidas e precisas para suas perguntas com a ajuda de profissionais em nossa plataforma.

Dados [tex]n,m\in\mathbb{N^*}[/tex], com [tex]n\geq2[/tex], mostre que se [tex]u_n[/tex] é o termo de ordem [tex]n[/tex] da sequência de Fibonacci, então

[tex]u_{n+m}=u_{n-1}u_m+u_nu_{m+1}[/tex].

Sagot :

FelipeQueiroz
Prova por indução em n, fixando o m:

I) n=2 => [tex]u_{m+2} = u_{1}u_{m}+u_{2}u_{m+1}[/tex]
E isso é verdade para todo m, pela definição da sequência.

II) Supondo que seja verdade pra n=k: [tex]u_{m+k} = u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}[/tex]
Verificando pra n=k+1:
[tex]u_{m+k+1} = u_{k} u_{m} + u_{k+1}u_{m+1} [/tex]

E somando as duas igualdades membro a membro:
[tex]u_{m+k} + u_{m+k+1}=u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}+u_{k}u_{m}+u_{k+1}u_{m+1}[/tex]
[tex]u_{m+k+2}=u_{m}(u_{k-1}+u_{k})+u_{m+1}(u_{k}+u_{k+1})[/tex]
[tex]u_{m+k+2}=u_{m}u_{k+1}+u_{m+1}u_{k+2}[/tex]

Que era o resultado esperado, logo aquela relação sempre vale para todo n>1. Pra provar pra m é a mesma coisa, só trocar as letras.
Obrigado por visitar. Nosso objetivo é fornecer as respostas mais precisas para todas as suas necessidades informativas. Volte em breve. Esperamos que isso tenha sido útil. Por favor, volte sempre que precisar de mais informações ou respostas às suas perguntas. Obrigado por visitar Sistersinspirit.ca. Volte em breve para mais informações úteis e respostas dos nossos especialistas.