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Dados [tex]n,m\in\mathbb{N^*}[/tex], com [tex]n\geq2[/tex], mostre que se [tex]u_n[/tex] é o termo de ordem [tex]n[/tex] da sequência de Fibonacci, então

[tex]u_{n+m}=u_{n-1}u_m+u_nu_{m+1}[/tex].

Sagot :

FelipeQueiroz
Prova por indução em n, fixando o m:

I) n=2 => [tex]u_{m+2} = u_{1}u_{m}+u_{2}u_{m+1}[/tex]
E isso é verdade para todo m, pela definição da sequência.

II) Supondo que seja verdade pra n=k: [tex]u_{m+k} = u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}[/tex]
Verificando pra n=k+1:
[tex]u_{m+k+1} = u_{k} u_{m} + u_{k+1}u_{m+1} [/tex]

E somando as duas igualdades membro a membro:
[tex]u_{m+k} + u_{m+k+1}=u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}+u_{k}u_{m}+u_{k+1}u_{m+1}[/tex]
[tex]u_{m+k+2}=u_{m}(u_{k-1}+u_{k})+u_{m+1}(u_{k}+u_{k+1})[/tex]
[tex]u_{m+k+2}=u_{m}u_{k+1}+u_{m+1}u_{k+2}[/tex]

Que era o resultado esperado, logo aquela relação sempre vale para todo n>1. Pra provar pra m é a mesma coisa, só trocar as letras.
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