monicaalmeida
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Um triangulo retangulo tem hipotenusa de comprimento h, a medida de um de seus angulos é igual a 30° e o perímetro desse triangulo mede 3( 3 + raiz de 3 ). Nessas condicoes, h é um numero:
 a) múltiplo de 7
 b) divisel por 5
 c) primo

d) par
 e) maior que 8

Sagot :

Sendo [tex]\text{h}[/tex] a medida da hipotenusa, como um dos ângulos agudos mede [tex]30^{\circ}[/tex], o menor lado terá [tex]\dfrac{\text{h}}{2}[/tex].

Depois disso, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do outro cateto será [tex]\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}[/tex].

Assim, como perímetro é [tex]3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex], temos:

[tex]\text{h}+\dfrac{\text{h}}{2}+\dfrac{\text{h}\sqrt{3}}{2}=3\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]

[tex]2\text{h}+\text{h}+\text{h}\sqrt{3}=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]

[tex]\text{h}\cdot(2+1+\sqrt{3})=6\cdot(3+\sqrt{3})[/tex]

Desse modo, [tex]\text{h}=\dfrac{6\cdot(3+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3})}[/tex]

[tex]\text{h}=\dfrac{(18+6\sqrt{3})\cdot(3-\sqrt{3})}{3^2-(\sqrt{3})^2}[/tex]

[tex]\text{h}=\dfrac{54-18\sqrt{3}+18\sqrt{3}-18}{9-3}[/tex]

[tex]\text{h}=\dfrac{36}{6}=6[/tex]

Logo, a resposta é d) par
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