Boa tarde. Para calcular a distância de um ponto a outro, utilizamos a seguinte fórmula.
[tex]\boxed{d = \sqrt{(X_{b}-X_{a})^{2}+(Y_{b}-Y_{a})^{2}}}[/tex]
Geralmente, em exercícios deste tipo, é dado dois pontos, pra descobrir a distância. Por isso, só fica o "d" pra gente descobrir.
Porém, neste caso, nos falta uma coordenada, que é o m. Em contrapartida, já temos uma distância determinada, fazendo que voltemos só a ficar com uma incógnita. Por isso, se a distância deve valer 5, vamos substituir o "d" por 5.
[tex]\sqrt{(X_{b}-X_{a})^{2}+(Y_{b}-Y_{a})^{2}} = d
\\\\
\sqrt{(4-0)^{2}+(m-7)^{2}} = 5
\\\\
\sqrt{(4)^{2}+(m-7)^{2}} = 5
\\\\
\sqrt{16+(m-7)^{2}} = 5
\\\\
para \ sumir \ com \ a \ raiz, \ elevamos \ os \ dois \ lados \ ao \ quadrado
\\\\
(\sqrt{16+(m-7)^{2}})^{2} = (5)^{2}
\\\\
16+(m-7)^{2} = 25
\\\\
distribuindo \ os \ quadrados
\\\\[/tex]
[tex]16+m^{2}-14m+49 = 25
\\\\
organizando
\\\\
m^{2}-14m+49+16 = 25
\\\\
como \ \acute{e} \ uma \ equa\c{c}\~{a}o \ de \ 2\° \ grau, \ igualamos \ a \ zero
\\\\
m^{2}-14m+49+16-25 = 0
\\\\
m^{2}-14m+40 = 0[/tex]
Caímos numa equação de segundo grau, que você deve resolver por Bhaskara.
[tex]m^{2}-14m+40 = 0
\\\\
\Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c
\\\\
\Delta = (-14)^{2} - 4 \cdot (1) \cdot (40)
\\\\
\Delta = 196 - 160
\\\\
\Delta = 36[/tex]
[tex]m^{2}-14m+40 = 0
\\\\
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\\\\
x = \frac{-(-14) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}
\\\\
x = \frac{14 \pm 6}{2}
\\\\\\
\rightarrow x' = \frac{14 + 6}{2} = \frac{20}{2} = \boxed{10}
\\\\
\rightarrow x'' = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = \boxed{4}[/tex]
Então estes devem ser os valores de "m".
[tex]\boxed{\boxed{S = \{4,10\}}}[/tex]
