Olá, Thassi.
Como [tex]mn=720=2^4\cdot3^2\cdot5,[/tex] podemos escrever [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] como um produto de potências de 2, 3 e 5:
[tex]\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},k_1,k_2,k_3\in\mathbb{N}\\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},k_4,k_5,k_6\in\mathbb{N}\end{cases}[/tex]
Como [tex]mn=720,[/tex] temos que:
[tex]2^{k_1+k_4}\cdot3^{k_2+k_5}\cdot5^{k_3+k_6}=2^4\cdot3^2\cdot5 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
k_1+k_4=4\\
k_2+k_5=2\\
k_3+k_6=1
\end{cases}[/tex]
Por outro lado, como [tex]\text{mdc}(m,n)=6,[/tex] temos que:
[tex]\text{mdc}(2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3},2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6})=6=2^1\cdot3^1\cdot5^0 \Rightarrow
\\\\
\begin{cases}
\text{min}(k_1,k_4)=1\\
\text{min}(k_2,k_5)=1\\
\text{min}(k_3,k_6)=0
\end{cases}[/tex]
De [tex]k_2+k_5=2[/tex] e [tex]\text{min}(k_2,k_5)=1,[/tex] obtemos que:
[tex]\boxed{k_2=k_5=1}[/tex]
Como [tex]\text{mdc}(n,20)=4,[/tex] temos que [tex]n[/tex] é múltiplo de 4.
Ou seja, [tex]n[/tex] é múltiplo de [tex]2^2.[/tex]
Como [tex]n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6},[/tex] então [tex]k_4\geq2.[/tex]
Como [tex]\text{min}(k_1,k_4)=1,[/tex] então [tex]\boxed{k_1=1}.[/tex]
Como [tex]k_1+k_4=4,[/tex] então [tex]\boxed{k_4=3}.[/tex]
Portanto:
[tex]\begin{cases}
m=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}=2^1\cdot3^1\cdot5^{k_3}=6\cdot5^{k_3}
\\
n=2^{k_4}\cdot3^{k_5}\cdot5^{k_6}=2^3\cdot3^1\cdot5^{k_6}=24\cdot5^{k_6}
\end{cases}
[/tex]
Há, assim, duas respostas possíveis:
[tex]\begin{cases}
\text{. Se }k_3=0\text{ e }k_6=1:
\begin{cases}
m=6\cdot5^0=6\\
n=24\cdot5^1=120
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=126}
\\\\
\text{. Se }k_3=1\text{ e }k_6=0:
\begin{cases}
m=6\cdot5^1=30\\
n=24\cdot5^0=24
\end{cases} \Rightarrow \boxed{m+n=54}
\end{cases} [/tex]
Como [tex]\text{mdc}(120,20)=20\neq4\text{ e }\text{mdc}(24,20)=4,[/tex] então a única resposta possível é [tex]n=24[/tex] e [tex]m=30,[/tex] ou seja:
[tex]\boxed{m+n=54}[/tex]
Resposta: letra "b".
