Primeiro, calculamos a diagonal menor, que é a oposta ao ângulo de 30º, usando a Lei dos Cossenos:
[tex]a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\
d^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(30^{\circ})\\\\
d^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\
d^2=37-30\\\\
d^2=7\\\\
d=\sqrt{7}[/tex]
Como os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares, o ângulo oposto à outra diagonal será 180º-30º=150º. Como o cosseno do ângulo suplementar de um ângulo qualquer é igual ao cosseno desse ângulo com o sinal invertido, temos que [tex]\cos(150^{\circ})=-\cos(30^{\circ})[/tex]. Agora, usando a Lei dos Cossenos novamente, calcularemos a diagonal maior:
[tex]a^2=b^2+c^2-2\cdot b\cdot c\cdot\cos(\alpha)\\\\ D^2=5^5+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos(150^{\circ})\\\\ D^2=25+12-20\sqrt{3}\cdot(-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\ D^2=37+30\\\\ D^2=67\\\\ D=\sqrt{67}[/tex]
