[tex]\bullet \ f(x) = -x^2 + 4x - 4[/tex]
a) Raízes da função
Obtemos as raízes de uma função igualando-a a zero:
[tex]-x^2 + 4x - 4 = 0 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ \circ a = -1 \\ \circ b = 4 \\ \circ c = -4 \\\\ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\\\ x = \frac{-4 \pm 0}{-2} = 2 \\\\ \boxed{\text{S} = \{2\}}[/tex]
b) As coordenadas do vértice da parábola
O vértice da parábola, sendo um ponto no plano cartesiano, é definido por um par ordenado (x,y), em que ambos são definidos por:
[tex]\bullet \ x_v = -\frac{b}{2a} \\\\ x_v = -(\frac{4}{-2}) = -(-2) = 2 \\\\ \bullet y_v = -\frac{\Delta}{4a} \\\\ y_v = -(\frac{b^2 - 4ac}{4a}) \\\\ y_v = -(\frac{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}{4 \cdot (-1)}) \\\\ y_v = -(\frac{0}{-4}) = 0[/tex]
Assim, as coordenadas do vértice são (2, 0).
c) Gráfico em anexo
d) Se a função admite valor máximo ou mínimo, calcule seu valor
A função em questão possui o coeficiente "a" do modelo ax² + bx + c menor que zero. Assim, sua parábola possui concavidade voltada para baixo, o que significa que há um valor máximo de y passível de ser assumido.
Os valores máximos ou mínimos de uma função quadrática são expressos no vértice de sua parábola. Sendo o y do vértice igual a 0, como descoberto anteriormente, este é o valor máximo da função.
[tex]y_{max} = y_v \\\\ \boxed{y_{max} = 0}[/tex]
e) O conjunto imagem
O conjunto imagem de uma função se trata daquele que inclui todos os possíveis valores de y para todo valor de x.
[tex]\text{Im}(f) = \ ]-\infty, 0] \ ou \\ \text{Im}(f) = \{x \in \mathbb{R} \ | \ x \leqslant 0 \}[/tex]
f) Para que valores de x a função é decrescente
Pela observação do gráfico, deduzimos que a função é decrescente para os valores de maiores que 2, isto é, x > 2.
g) Para que valores de x a função é crescente
Pela observação do gráfico, deduzimos que a função é decrescente para valores de x menores que 2, isto é, x < 2.
