Olá, Jhezinha.
Números divisíveis por 3 possuem a propriedade de que a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Como [tex]12c5[/tex] é divisível por 3, temos então que:
[tex]1+2+c+5=3 \alpha , \alpha \in \mathbb{N} \Rightarrow c+8=3 \alpha \Rightarrow c=3 \alpha -8[/tex]
Como [tex]c>0,[/tex] temos que:
[tex]3 \alpha -8>0 \Rightarrow 3\alpha>8\Rightarrow \alpha>\frac83\Rightarrow \alpha > 2,666...[/tex]
Vejamos, agora, quais os possíveis valores que [tex]c[/tex] pode assumir:
[tex]\begin{cases} \text{Se } \alpha =3:c = 3\alpha - 8=3\cdot3-8=9-8=1\\ \text{Se } \alpha =4:c = 3\alpha - 8=3\cdot4-8=12-8=4\\ \text{Se } \alpha =5:c = 3\alpha - 8=3\cdot5-8=15-8=7\\ \text{Se } \alpha =6:c = 3\alpha - 8=3\cdot6-8=18-8=10\text{ (imposs\'ivel, pois }c\text{ \'e}\\\text{um algarismo solit\'ario apenas; paramos por aqui)}\\ \end{cases}[/tex]
A soma dos possíveis algarismos que [tex]c[/tex] pode assumir é, portanto:
[tex]1+4+7=\boxed{12}[/tex]
Observação: A informação relativa à divisibilidade de [tex]12c5[/tex] por 5 é irrelevante, pois qualquer número terminado em 5 é divisível por 5.
