Utilizando a fórmula da área do triângulo equilátero, podemos descobrir o lado do triângulo do enunciado:
[tex]A_{\triangle equilatero}=\dfrac{\ell^{2}_{3}\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex]16\sqrt{3}=\dfrac{\ell^{2}_{3}\sqrt{3}}{4}[/tex]
[tex]\ell^{2}_{3}=64[/tex]
[tex]\ell_{3}=8\;m[/tex]
Agora podemos calcular a altura deste triângulo através da fórmula:
[tex]h=\dfrac{\ell_{3}\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]h=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]h=4\sqrt{3}\;m[/tex]
O problema nos diz que a altura do triângulo equilátero é igual à diagonal do quadrado, então:
[tex]d_{4}=h[/tex]
[tex]d_{4}=4\sqrt{3}\;m[/tex]
Utilizando a fórmula da diagonal do quadrado, podemos descobrir o lado do quadrado DEFG:
[tex]d_{4}=\ell_{4}\sqrt{2}[/tex]
[tex]4\sqrt{3}=\ell_{4}\sqrt{2}[/tex]
[tex]\ell_{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\ell_{4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}\;m[/tex]
Agora podemos calcular a área do quadrado:
[tex]A_{DE{F}G}=\ell_{4}^{2}[/tex]
[tex]A_{DE{F}G}=(2\sqrt{6})^{2}[/tex]
[tex]A_{DE{F}G}=4\times6[/tex]
[tex]A_{DE{F}G}=24\;m^{2}[/tex]
[tex]Resposta[/tex]: A área do quadrado [tex]DE{F}G[/tex] é [tex]24m^{2}[/tex]
