Acho que o gabarito está errado, pois resolvendo a questão, encontrei a letra A. Confira meu cálculo e veja se há algo errado
A questão busca o valor de:
[tex]\dfrac{\text{cosec}\;x-\text{sec}x}{\text{cotg}x-1}[/tex]
Desenvolvendo a expressão, temos:
[tex]\dfrac{\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{\cos x}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}-1}[/tex]
[tex]\dfrac{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}}{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x}}=\dfrac{\cos\;x-\sin x}{\sin x\cdot\cos x}\times\dfrac{\sin x}{\cos x-\sin x}[/tex]
[tex]=\dfrac{1}{\cos x}[/tex]
Agora calculamos [tex]\cos x[/tex]:
[tex]\sin^{2}x+\cos^{2}x=1[/tex]
[tex](\dfrac{1}{3})^{2}+\cos^{2}x=1[/tex]
[tex]\dfrac{1}{9}+\cos^{2}x=1[/tex]
[tex]\cos^{2}x=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{9-1}{9}[/tex]
[tex]\cos^{2}x=\dfrac{8}{9}\Longrightarrow \cos x=\sqrt{\dfrac{8}{9}}[/tex]
[tex]\cos x=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}[/tex]
Agora podemos calcular o valor da expressão:
[tex]\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}[/tex]
[tex]\dfrac{3}{2\sqrt{2}}=\dfrac{3}{2\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\Longrightarrow[/tex] Letra [tex]A[/tex]
[tex]Resposta[/tex]: Letra [tex]A[/tex]
