Oi, Jr.
[tex]\text{(i) }p(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0, a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}
\\\\
p(x^2) = a(x^2)^2 + a_1x^2 + a_0 = a_2x^4 + a_1x^2 + a_0
\\\\
p(x^2)=0 \Leftrightarrow a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0[/tex]
Ou seja:
[tex]Nuc(T)=\{p(x)\in P_2(\mathbb{R})\ |\ p(x)\equiv 0\} \Rightarrow \\\\ Nuc(T)=\{0\} \Rightarrow\boxed{dim(Nuc(T))=0}[/tex]
Observação: Subespaços vetoriais nulos possuem dimensão zero e é o único caso possível de subespaço vetorial com dimensão zero.
[tex]\text{(ii) }Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}[/tex]
Um base para Im(T) é [tex]\boxed{\{x^4,x^2,1\}},[/tex] pois, conforme verificado em (i),
[tex]a_2x^4 + a_1x^2 + a_0 = 0 \Leftrightarrow a_2=a_1=a_0=0 \Rightarrow[/tex] o conjunto de monômios
[tex]\{x^4,x^2,1\}[/tex] é L.I. Além disso, o conjunto [tex]\{x^4,x^2,1\}[/tex] gera Im(T), pois
[tex]Im(T) = \{p(x) \in P_4(\mathbb{R})\ |\ p(x)=a_2x^4 + a_1x^2 + a_0,a_0,a_1,a_2 \in \mathbb{R}\}.[/tex]
