O estudo de sinal de uma função consiste em analisar o sinal da imagem y de valores x do domínio.
Começamos definindo a raiz da função, que corresponde aos pontos x cuja imagem é nula, isto é, igual a zero.
[tex]f(x) = x^2 + 6x + 9 \\ x^2 + 6x + 9 = 0 \\\\ \bullet a = 1 \\ \bullet b = 6 \\ \bullet c = 9 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} \\\\ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} \\\\ x = \frac{-6 \pm 0}{2} \\\\ x = -\frac{6}{2} \\\\ x = -3[/tex]
De acordo com o conhecimento de propriedades de funções quadráticas, sabemos que quando a > 0 numa função deste tipo, seu gráfico parabólico possui concavidade voltada para cima. Este é o caso correspondente à função em questão.
Além de possui concavidade voltada para cima, a função possui uma única raiz: -3. Desta forma, a parábola gráfica toca o eixo y no ponto x = -3 e não possui trechos situados abaixo deste eixo. Isto significa que a imagem desta função não possui valores negativos, apenas nulos (y = 0) ou positivos (y > 0).
Pela observação do gráfico (em anexo), concluímos o seguinte:
[tex]\begin{cases}
\text{Se} \ x = -3, y = 0 \\
\text{Se} \ x < -3, y > 0 \\
\text{Se} \ x > -3, y > 0
\end{cases}[/tex]
