Bom, podemos calcular o determinante de uma matriz escolhendo uma linha ou uma coluna, e multiplicar cada elemento pelo seu cofator.
Para facilitar nossos cálculos, escolheremos a linha/coluna que possui mais zeros, que no caso, é a primeira coluna.
[tex]\begin{bmatrix}
-1 & 3 & -1 & 4 \\
2 & 1 & 0 & 2 \\
0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 1 & 2
\end{bmatrix}[/tex]
Então vamos lá. Começamos com o primeiro elemento: iremos multiplica-lo pelo seu cofator. No que consiste o cofator? O cofator tem a seguinte fórmula:
[tex]\boxed{A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A}}[/tex]
Este "D" da fórmula, significa determinante do cofator, que é todos os elementos que restam excluindo a linha e a coluna do elemento que a gente está calculando. O cofator sempre é representado por letra maiúscula.
Vamos lá:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21}[/tex]
Vamos calcular o cofator de cada um separadamente.
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A}
\\\\
A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\\\\\\
A_{11} = (-1)^{2} \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\\\\\\
A_{11} = 1 \cdot (4-2-16-3)
\\\\
\boxed{A_{11} = -17}[/tex]
Agora iremos calcular o cofator do segundo elemento:
[tex]A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot D_{A}
\\\\
A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}
3 & -1 & 4 \\
-1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\\\\\\
A_{21} = (-1)^{3} \cdot \begin{vmatrix}
3 & -1 & 4 \\
-1 & 2 & 3 \\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}
\\\\
A_{21} = -1 \cdot (12-12-4-32-2-9)
\\\\
A_{21} = -1 \cdot -47
\\\\
\boxed{A_{21} = 47}[/tex]
Voltando:
[tex]D = -1 \cdot A_{11} + 2 \cdot A_{21}
\\\\
D = -1 \cdot (-17) + 2 \cdot 47
\\\\
D = 17+94
\\\\ \boxed{\boxed{D= 111}}[/tex]
Olha, o resultado deu 111. Consultando uma calculadora online, ela confirmou. Está certo esse resultado que te passaram?
