Olá, Juliana.
Coeficiente angular da reta r que passa pelo centro da circunferência (0,1) e pelo ponto de tangência (x,y):
[tex]m_r = \frac{y-1}{x}[/tex]
Coeficiente angular da reta s que passa pelo ponto de tangência (x,y) e pelo ponto p(5,3):
[tex]m_s = \frac{y-3}{x-5}[/tex]
Como as retas r e s são perpendiculares, temos que:
[tex]m_r.m_s = -1 \Rightarrow \frac{y - 1}x \cdot \frac{y - 3}{x - 5} = -1 \Rightarrow \frac{y^2-3y-y+3}{x^2-5x}=-1 \Rightarrow \\\\ y^2-4y+3=-x^2+5x \Rightarrow y^2-4y+3+x^2-5x=0 \Rightarrow \\\\ \boxed{x^2+y^2-5x-4y+3=0} \text{ (i)}[/tex]
Por outro lado, o ponto de tangência (x,y) pertence à circunferência, ou seja, satisfaz a equação da circunferência. Assim:
[tex]x^2+(y-1)^2=4 \Rightarrow x^2+y^2-2y+1 = 4 \Rightarrow \\\\
\boxed{x^2+y^2-2y-3=0}\text{ (ii)}[/tex]
Juntando as expressões (i) e (ii) obtidas, ficamos com o seguinte sistema de equações:
[tex]\begin{cases}x^2+y^2-5x-4y+3=0\text{ (i)}\\ x^2+y^2-2y-3=0\text{ (ii)} \end{cases} [/tex]
Fazendo (i) - (ii) temos:
[tex]-5x-4y+3+2y+3=0 \Rightarrow -2y-5x+6 = 0 \Rightarrow\\\\
-2y=5x-6 \Rightarrow y=-\frac52x+3[/tex]
Substituindo o valor de y obtido acima na equação da circunferência x² + (y - 1)² = 4, vamos encontrar o ponto de tangência (x,y):
[tex]x\² + \frac{25}{4}x\² - 10x + 4 = 4 \Rightarrow 4x\² + 25x\² - 40x = 0 \Rightarrow\\\\ x(29x - 40) = 0 \Rightarrow x = \frac{40}{29} \Rightarrow\\\\ y = -\frac52\cdot\frac{40}{29} + 3 = -\frac{100}{29} + 3 = -\frac{13}{29}[/tex]
Obtido acima o ponto de tangência (x,y), vamos substituí-lo na equação da reta s, que passa pelo ponto (5,3):
[tex]m_s = \frac{\frac{-13}{29}-3}{\frac{40}{29}-5} = \frac{\frac{-13-87}{29}}{\frac{40-145}{29}}=\frac{-100}{29}\cdot\frac{-29}{105}=\frac{20}{21} \\\\ y = \frac{20}{21}x + c\Rightarrow \\\\ \text{No ponto (3,5):}\\\\3 = \frac{20}{21}\cdot 5 + c \\\\ c = 3-\frac{100}{21}=\frac{63-100}{21}=-\frac{37}{21} \\\\ y = \frac{20}{21}x - \frac{37}{21} \\\\ \boxed{21y - 20x + 37 = 0}[/tex]
