✅ Após desenvolver os cálculos, concluímos que a equação do terceiro grau procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf eq: x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam as raízes:
[tex]\Large\begin{cases}x' = 1\\x'' = 2\\x''' = 3 \end{cases}[/tex]
Para encontra uma equação do terceiro grau a partir de suas raízes devemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - x')\cdot(x - x'')\cdot(x - x''') = 0\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo as raízes temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (x - 1)\cdot(x - 2)\cdot(x - 3) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \left[(x - 1)\cdot(x - 2)\right]\cdot(x - 3) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \left[x^{2} - x - 2x + 2\right]\cdot(x - 3) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\left[x^{2} - 3x + 2\right]\cdot (x - 3) = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{3} -3x^{2} + 2x -3x^{2} + 9x -6 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0 \end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a equação procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}eq: x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0 \end{gathered}$}[/tex]
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