[tex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}[/tex]
Este enunciado matemático nos expõe a soma de uma progressão de elementos em que o numerador um é progressivamente dividido por denominadores gradualmente maiores, regidos pela expressão [tex]n \cdot (n + 1)[/tex]. A variável n, responsável pela descrição de termos posteriores desta soma, equivale à posição do termo em questão na soma apresentada, e o resultado desta soma é induzido através de uma expressão em função desta variável. A indução matemática significa que é estabelecida uma generalização a respeito de um cálculo, em que seu resultado é previsto de forma aproximada.
A indução deste exemplo é uma ocorrência matemática aceitável em somas como esta que, assim como numa P.G. de razão compreendida entre 0 e 1, seus termos componentes diminuem progressivamente, o que torna a adição de certos elementos irrelevante em termos práticos pois são muito pequenos.
Para demonstrarmos a validade do termo geral induzido como resultado desta soma, devemos testá-lo:
[tex]\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ... + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} \\\\ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{n \cdot (n + 1)}[/tex]
Testando:
[tex]\bullet \ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\\\ \text{n}^\circ} \ \text{de elementos: 2} \\ \text{aplicando a regra:} \ \frac{n}{n + 1} \rightarrow \frac{2}{2 + 3} = \frac{2}{5} \approx \frac{2}{3}[\tex]
[tex]\bullet \ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \\\\ \text{n}^\circ} \ \text{de elementos: 3} \\ \text{aplicando a regra:} \ \frac{n}{n + 1} \rightarrow \frac{3}{3 + 1} = \frac{3}{4} = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\bullet \ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{48}{60} = \frac{12}{15} \\\\ \text{n}^\circ} \ \text{de elementos: 4} \\ \text{aplicando a regra:} \ \frac{n}{n + 1} \rightarrow \frac{4}{4 + 1} = \frac{4}{5} \approx \frac{9}{12}[/tex]
[tex]\bullet \ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}\\\\ \text{n}^\circ} \ \text{de elementos: 5} \\ \text{aplicando a regra:} \ \frac{n}{n + 1} \rightarrow \frac{5}{5 + 1} = \frac{5}{6} = \frac{5}{6}[/tex]
[tex]\bullet \ \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} = \frac{36}{42} = \frac{6}{7}\\\\ \text{n}^\circ} \ \text{de elementos: 6} \\ \text{aplicando a regra:} \ \frac{n}{n + 1} \rightarrow \frac{6}{6 + 1} = \frac{6}{7} = \frac{6}{7}[/tex]
Os resultados proveniente dos uso do termo foram verdadeiros ou aproximadamente verdadeiros, o que nos prova a validade desta indução.
Obs.: o termo geral do resultado é válido apenas para somas realizadas a partir do princípio, incluindo todos os elementos intermediários até o termo responsável pela definição de n, assim como ocorre numa soma infinita de P.G. com razão entre 0 e 1. Exemplo:
O resultado de [tex]\frac{1}{12} + \frac{1}{20}[/tex], dois possíveis termos desta soma, não pode ser previsto pelo termo [tex]\frac{n}{n + 1} [/tex], pois o número de elementos desta soma difere da posição do termo mais longíquo desta progressão.
• n do termo mais longíquo = 3
• número de elementos = 2
