Olá, Janacris1990.
A equação geral de uma circunferência de centro em (a,b) e raio r é dada por:
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \Rightarrow\\\\x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2 \Rightarrow\\\\x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0[/tex]
Por comparação com a equação dada no enunciado, vamos encontrar o centro (a,b) da circunferência deste exercício:
[tex]\\\\\begin{cases}-2a=-2 \Rightarrow a=1 \\-2b=-2 \Rightarrow b=1\end{cases} \Rightarrow\\\\\\x^2+y^2-2x-2y+1+1-r^2=0 \Rightarrow\\\\x^2+y^2-2x-2y+2-r^2=0\ \text{(i)}[/tex]
Ocorre que P pertence ao INTERIOR da circunferência.
A equação do interior da circunferência é dada pela equação geral da circunferência, porém com o símbolo de [tex]\leq[/tex] ("menor ou igual") no lugar do "=" (igual).
Assim a equação [tex]\text{(i)}[/tex] fica:
[tex]x^2+y^2-2x-2y+2-r^2\leq0\ \text{(ii)}[/tex]
Substituindo agora o ponto P(2,-3) na equação [tex]\text{(i)},[/tex] vamos encontrar os possíveis valores do raio r , de forma que o ponto P pertença ao interior da circunferência:
[tex]2^2+(-3)^2-2\cdot2-2\cdot(-3)+2-r^2\leq0 \Rightarrow\\\\r^2\geq 4+9-4+6+2=17 \Rightarrow r\geq\sqrt{17}\ \text{(iii)}[/tex]
Voltando agora à equação [tex]\text{(ii)}[/tex], vamos obter o valor de k :
[tex]2-r^2=3k \Rightarrow r^2=2-3k \Rightarrow r=\sqrt{2-3k}[/tex]
Aplicando a condição [tex]\text{(iii)}[/tex], temos:
[tex]r\geq\sqrt{17}\Rightarrow\sqrt{2-3k}\geq\sqrt{17}\Rightarrow2-3k\geq17\Rightarrow\\\\-3k\geq15 \ \times(-1) \Rightarrow3k\leq-15\Rightarrow k\leq\frac{-15}3\Rightarrow\\\\\boxed{k\leq-5}[/tex]
