Olá, Leidy Braga.
A) VERDADEIRO.
Sejam [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}[/tex] tais que:
[tex]\lambda_1 (1,2,1,0) + \lambda_2(1,-1,0,1) + \lambda_3(1,5,2,1)=0 \Rightarrow \\\\ \begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=0\ (1) \\ 2\lambda_1 - \lambda_2 + 5\lambda_3=0\ (2) \\ \lambda_1 + 2\lambda_3=0\ (3) \\ \lambda_2 + \lambda_3=0\ (4) \end{cases} [/tex]
Substituindo (4) em (1) temos: [tex]\lambda_1=0[/tex]
Substituindo este último resultado em (3) temos: [tex]\lambda_3=0[/tex]
Substituindo este último resultado em (4) temos: [tex]\lambda_2=0[/tex]
Como [tex]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0,[/tex] então {(1,2,1,0),(1,-1,0,1),(1,5,2,1)} é um conjunto de vetores LI.
Como o enunciado diz que este conjunto de vetores gera U ∩ W e os vetores são LI, então este conjunto de vetores é uma base para U ∩ W.
B) VERDADEIRO.
U ∩ W é o conjunto dos vetores [tex]v[/tex] tais que [tex]v\in U[/tex] e [tex]v\in W.[/tex]
Como [tex]\text{dim}(U)=\text{dim}(W)=3,v\in U,v\in W,[/tex] e [tex]v\in U\bigcap W,[/tex] temos, então, que [tex]\text{dim}(U\bigcap W)=3[/tex]
C) VERDADEIRO.
U + W é o conjunto dos vetores [tex]v[/tex] tais que:
[tex]v=u+w, u=(u_1,u_2,u_3)\in U,w=(w_1,w_2,w_3)\in W \Rightarrow \\\\ v=(u_1+w_1,u_2+w_2,u_3+w_3)[/tex]
Como [tex]v = u + w[/tex] tem 3 coordenadas, então [tex]\text{dim}(U+W)=3[/tex]
D) FALSO. Explicado na letra "C".
E) FALSO. Explicado na letra "C".
