Olá, Leidy Braga.
A) FALSO.
Sejam [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}[/tex] tais que:
[tex]\lambda_1 \cdot 1 + \lambda_2(1-t) + \lambda_3(1-t)^2 + \lambda_4(1-t)^3=0 \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_2t + \lambda_3(1-2t+t^2) + \lambda_4(1-3t+3t^2-t^3)=0 \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 - \lambda_2t + \lambda_3 - 2\lambda_3t + \lambda_3t^2 + \lambda_4 - 3\lambda_4t + 3\lambda_4t^2 - \lambda_4t^3 = 0\\ \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 + (- \lambda_2 - 2\lambda_3 - 3\lambda_4)t + (\lambda_3 + 3\lambda_4)t^2 - \lambda_4t^3 = 0\\ \Rightarrow [/tex]
[tex]\begin{cases} \lambda_4=0 \\ \lambda_3+\underbrace{3\lambda_4}_{=0}=0 \Rightarrow \lambda_3=0 \\ - \lambda_2 - \underbrace{2\lambda_3}_{=0} - \underbrace{3\lambda_4}_{=0} \Rightarrow \lambda_2=0 \\ \lambda_1 + \underbrace{\lambda_2}_{=0} + \underbrace{\lambda_3}_{=0} + \underbrace{\lambda_4}_ {=0} = 0 \Rightarrow \lambda_1 = 0 \end{cases}[/tex]
Como [tex]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0,[/tex] então S é LI e não LD.
B) VERDADEIRO.
S é base de [tex]P^3(\mathbb{R})[/tex] se, e somente se, qualquer polinômio de terceiro grau no conjunto dos números reais puder ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S.
Assim, devem existir [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}[/tex] tais que:
[tex]\lambda_1.1 + \lambda_2(1-t) + \lambda_3(1-t)^2 + \lambda_4(1-t)^3=a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0 \\ \Rightarrow \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 + (- \lambda_2 - 2\lambda_3 - 3\lambda_4)t + (\lambda_3 + 3\lambda_4)t^2 - \lambda_4t^3=\\=a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0 \Rightarrow [/tex]
[tex]\begin{cases} \lambda_4=-a_3 \\\\ \lambda_3+\underbrace{3\lambda_4}_{=-3a_3}=a_2 \Rightarrow \lambda_3=a_2+3a_3 \\\\ - \lambda_2 - \underbrace{2\lambda_3}_{=2(a_2+3a_3)} - \underbrace{3\lambda_4}_{=-3a_3}=a_1 \Rightarrow -\lambda_2-2(a_2+3a_3)+3a_3=a_1 \Rightarrow \\ \lambda_2=3a_3-2(a_2+3a_3)-a_1 \\\\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 + \lambda_4 = a_0 \Rightarrow \lambda_1 = a_0 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4 \end{cases}[/tex]
Portanto, dado qualquer polinômio p(x) de grau 3 com coeficientes quaisquer [tex]a_0,a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R},[/tex] existem [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4 \in \mathbb{R}[/tex] tais que p(x) pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos de S.
Basta escolhermos [tex]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4[/tex] conforme calculado no sistema acima, em função de [tex]a_0,a_1,a_2,a_3[/tex] dados em p(x).
(C) VERDADEIRO.
S é formado por 4 elementos.
Então, qualquer polinômio p(x) de grau 3 escrito como combinação linear dos elementos de S possui 4 coordenadas em relação à base S.
(D) FALSO.
Para t=1, o conjunto S é dado por:
[tex]S=(1,0,0,0)\neq(0,0,0,0)=0_v \Rightarrow \not\exists t\ |\ 0_v\in S\Rightarrow 0_v \notin S[/tex]
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