Os pontos A(3m+1,15) e B (m,3) pertensem ao 2º quadrante e a distancia entre eles é igual a 13. Qual é o valor de m?
Distância entre dois pontos:
[tex]dAB=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}[/tex]
Substituindo:
[tex]13=\sqrt{(m-3m-1)^2+(3-15)^2}[/tex]
[tex]13=\sqrt{(m-3m-1)^2+144}[/tex]
[tex]169=(m-3m-1)^2+144[/tex]
[tex](-2m-1)^2-25=0[/tex]
[tex]4m^2+4m+1-25=0[/tex]
[tex]4m^2+4m-24=0[/tex]
Resolvendo Bhaskara:
[tex]m=2[/tex]
[tex]m'=-3[/tex]
Como o exercício fala que está no 2º quadrante então o eixo "x" é negativo, logo:
[tex]\boxed{m=-3}[/tex]
Segue a fórmula da distância entre dois pontos a ser utilizada no exercício: [tex]d_{a,b} = \sqrt{(x_{a} - x_{b}) ^{2}+(y_{a} - y_{b}) ^{2}}[/tex].
Incorporando as informações dadas no enunciado à fórmula transcrita acima, temos:
[tex]d_{a,b} = \sqrt{(3m + 1 - m) ^{2}+(15 -3) ^{2}}\\d_{a,b} = \sqrt{(2m+1) ^{2}+(-12) ^{2}}\\d_{a,b} = \sqrt{4m^{2} + 4m + 1 +144}\\[/tex]
Já sabemos que [tex]d_{a,b}[/tex] = 13. Então, podemos estabelecer a seguinte igualdade:
[tex]13 = \sqrt{4m^{2} + 4m + 1 +144}\\[/tex]
Para neutralizar o radical no segundo membro, podemos elevar ambos os membros ao quadrado.
[tex]13^{2} = (\sqrt{4m^{2} + 4m + 145})^{2}\\169 = 4m^{2} + 4m + 145\\4m^{2} + 4m - 24[/tex]
Temos, agora, uma equação de segundo grau a ser resolvida pela Fórmula de Bháskara.
Δ = b² - 4 . a . c
Δ = 4² - 4 . 4 . (-24)
Δ = 16 - 16 . (-24)
Δ = 16 + 384
Δ = 400
[tex]\frac{-4+\sqrt{400} }{8} = \frac{-4+20}{8} = \frac{16}{8} = 2\\ \frac{-4-\sqrt{400} }{8} = \frac{-4-20}{8} = \frac{-24}{8} = -3\\[/tex]
Como é certo que os pontos A e B pertencem ao 2º quadrante, o valor de x deverá ser negativo.
Então, m = -3.
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