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Um número maior que 2000 e menor que 3000 foi dividido por 12, 25 e 45. Nas 3 divisões o resto sempre foi 8, qual é o numero?

Sagot :

 

Deve-se determinar mmc

 

mmc(12, 25, 45) = 900

 

         12                    25                  45/2

           6                    25                  45/2

           3                    25                  45/3

           1                    25                  15/3

                                 25                    5/5

                                   5                    1/5

                                   1

 

                900 x 2 = 1800

                900 x 3 = 2700

                900 x 4 = 3600

Todo número multiplo do mmc será multiplo do número considerado.

Sendo o número maior de 2000 e menor de 3000, o multiplo será 2700.

Como sempre na divisão o resto é 8, o número será

 

2700 + 8 = 2708

 

 

Seja [tex]l[/tex] o número procurado.

 

Temos que:

 

[tex]l\equiv8\pmod{12}[/tex]

 

[tex]l\equiv8\pmod{25}[/tex]

 

[tex]l\equiv8\pmod{45}[/tex]

 

Desses congruências, podemos escrever:

 

[tex]l=12\text{a}+8[/tex]

 

[tex]l=25\text{b}+8[/tex]

 

[tex]l=45\text{c}+8[/tex]

 

Desta maneia, podemos escrever:

 

[tex]l=12\text{a}+8=25\text{b}+8=45\text{c}+8[/tex]

 

Logo, [tex]12\text{a}=25\text{b}=45\text{c}[/tex]

 

Note que, [tex]\text{mmc}(12, 25, 45)=900[/tex].

 

Desse modo, temos [tex]l=900\text{d}+8[/tex].

 

Como [tex]2~000<l3~000[/tex], segue:

 

[tex]2~000<900\text{d}+8<3~000[/tex]

 

Donde, [tex]2<\text{d}<4[/tex], [tex]\text{d}=3[/tex]

 

Logo, chegamos à conclusão de que, [tex]l=900\cdot3+8=2~708[/tex].

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