calcule o volume do sólido pela revolução em torno do eixo x da função f (x)= x+1 entre 0 e 2
a)5[tex]\pi[/tex]
b)11/3[tex]\pi[/tex]
c)8/3[tex]\pi[/tex]
d)26/3[tex]\pi[/tex]
Olá, Mayara.
A função f(x) = x + 1 é uma reta inclinada (coeficiente angular igual a 1, formando, portanto, um ângulo de 45º, pois tg 45º = 1).
Rotacionando a reta f(x) = x + 1 em torno do eixo x, surge a figura de um tronco de cone deitado de altura h = 2 (pois vai de x = 0 a x = 2).
O raio da base menor (r) do cone vai de y = 0 a y = f(0) = 0 + 1 = 1.
O raio da base maior (R) do cone vai de y = 0 a y = f(2) = 2 + 1 = 3.
Veja o desenho ilustrativo em anexo.
O volume do tronco de cone de raio menor (r) igual a 1, raio maior (R) igual a 3 e altura (h) igual 2 é:
[tex]V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \cdot 2}{3}(3^2+3\cdot1+1^2)=\frac{2\pi}{3}(9+3+1)\\\\ \therefore \boxed{V=\frac{26\pi}{3}}[/tex]
Resposta: letra "d"
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:D\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os dados:
[tex]\Large\begin{cases} f(x) = x + 1\\I = \left[0,\,2\right]\end{cases}[/tex]
Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x - em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt r = f(x) = x + 1\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo "I" em "II", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x + 1)^{2} = \pi (x^{2} + 2x + 1)\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os valores na equação "III", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt V = \int_{0}^{2} \left[\pi (x^{2} + 2x + 1)\right]\,dx \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {0}^{2} (x^{2} + 2x + 1)\,dx\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1 } +\frac{2x^{1 + 1}}{1 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{3}}{3 } +\frac{2x^{2}}{2} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{2^{3}}{3} + \frac{2\cdot2^{2}}{2} + 2\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{3}}{3} + \frac{2\cdot0^{2}} {2} + 0\bigg)\right]\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{8}{3} + \frac{8}{2} + 2\bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{16 + 24 + 12}{6}\bigg)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{52\pi}{6}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt = \frac{26\pi}{3}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o volume procurado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
