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determine a soma dos multiplos de 5 compreendido entre 8 e 198

Sagot :

MATHSPHIS

O primeiro número desta sequencia é o 10, que é o primeiro múltiplo do intervalo dado, sendo 195 o último.

Eles formam a PA(5,10,15,20,....195)

 

 

sabe-se que a1=5, an=195 e r=5, então usando-se a Fórmula do Termo Geral das PA´s:

 

 

[tex]195=5+(n-1)\cdot 5\rightarrow 195=5+5n-5\rightarrow 5n=195\rightarrow n=\frac{195}{5}=[/tex] 

n=39

 

 

Agora vamos à soma dos termos:

 

[tex]S_{39}=\frac{(5+195)\cdot39}{2}=\frac{200\cdot39}{2}=100\cdot39=3900[/tex] 

 

 

No intervalo [tex][8, 198][/tex], o menor múltiplo de [tex]5[/tex] é [tex]10=2\times5[/tex] e o maior é [tex]195=39\times5[/tex].

 

Observe que, a soma desses múltiplos é [tex]\text{S}=10+15+20+\dots+195[/tex].

 

Podemos escrever, [tex]\text{S}=2\times5+3\times5+4\times5+\dots+39\times5[/tex].

 

Cada uma destas parcelas possui um fator [tex]5[/tex], colocando em evidência, temos:

 

[tex]\text{S}=5\cdot(2+3+4+\dots39)[/tex]

 

Observe que, a soma dos números do intervalo [tex][1,\text{n}][/tex] é [tex]\dfrac{\text{n}\cdot(\text{n}+1)}{2}[/tex].

 

Desta maneira, a soma dos números do intervalo [tex][2,39][/tex] é [tex]\dfrac{39\cdot(39+1)}{2}=39\cdot20=780[/tex].

 

Logo, a soma dos múltiplos de [tex]5[/tex] compreendidos entre [tex]8[/tex] e [tex]198[/tex] é [tex]\text{S}=5\cdot780=3~900[/tex].

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