Em um triangulo retangulo ABC, a diferença entre os catetos é de 2 cm e o produto é 48 cm. Calcule a hipotenusa deste triangulo.
a-b=2 e ab=48
a=b+2
logo
(b+2)b=48
b^2 +2b= 48
A solução positiva desta equação é 6
se b=6 então a=8
Aplicando-se o teorema de Pitágoras:
[tex]h^2=6^2+8^2=36+64=100\rightarrow h=10[/tex]
primeiro teremos de calcular o valor dos catetos:
1° cateto= x
2/ cateto= y
x-y=2
x*y=48
sabendo que x-y=2,podemos fazer y=2-x.. agora substituiremos y por x-2 na segunda equação:
[tex]xy=48\\x(x-2)=48\\x^2-2x-48=0[/tex]
encontramos uma equação do segundo grau.. vamos resolve-la para descobrir o valor do cateto 1(x):
[tex]x^2-2x-48=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-2)^2-4*1*(-48)\\\Delta=4-(-192)\\\Delta=196\\\\x=\frac{-b^+_-\sqrt\Delta}{2a}=>x=\frac{2^+_-{\sqrt196}}{2*1}\\x=\frac{2^+_-14}{2}\\\\x'=\frac{2+14}{2}= >x'=\frac{16}{2}=>x'=8\\\\x''=\frac{2-14}{2}=>x''=\frac{-12}{2}=>x''=-6\\\\S=(8,-6)\\\\usaremos\ so\ x=8,\ pois\ nao\ existe\ lado\ negativo\\logo:\ cateto\ 1=8\\\\agora\ vamos\ descobrir\ o\ valor\ de\ y(segundo\ cateto):[/tex]
se temos x-y=2
logo:
8-y=2
y=6
pronto descobrimos o valor do primeiro cateto x= 8, e do segundo cateto y= 6
agora pela teorema de pitagoras vamos descobrir o valor da hipotenusa:
[tex]h^2=c^2+c^2\\h^2=6^2+8^2\\h^2=36+64\\h^2=100\\h=\sqrt{100}\\\\h=10[/tex]
logo a hipotenusa desse triangulo é 10cm
