Olá, AgenteRJ.
[tex]A)\ \log_2(x\²+x)\geq 2 \Rightarrow 2\leq \log_2(x\²+x) \Rightarrow 2^2\leq x\²+x \Rightarrow\\\\ x^2+x-4 \geq 0\\\\ \text{\underline{Ra\'izes do polin\^onomio}:}\\\\ x=\frac{1\pm\sqrt{1+16}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}[/tex]
Como o polinômio [tex]x^2+x-4[/tex] é uma parábola com a concavidade voltada para cima, então seus valores são positivos à esquerda e à direita das raízes, pois, entre as raízes, seus valores são negativos.
Portanto, os valores de x que satisfazem a inequação são:
[tex]x\leq\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{ ou }x\geq\frac{1+\sqrt{17}}{2}[/tex]
Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:
[tex]x^2+x\leq0 \Rightarrow x(x+1)\leq0\\\\ \underline{\text{An\'alise do sinal}}:\\\\ .....(-)...........|....(-)....0....(+)........\ x \\ .....(-).......-1...(+)....|.....(+)........\ (x+1) \\ .....(+).......-1...(-)....0....(+)........\ x(x+1) [/tex]
No diagrama de sinais acima, podemos verificar que, para [tex]-1\leq x\leq0,[/tex] não existe [tex]\log x(x+1).[/tex] Os valores de x que satisfazem a inequação não incluem este intervalo.
Portanto, a solução da inequação é:
[tex]\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}|x\leq\frac{1-\sqrt{17}}{2}\text{ ou }x\geq\frac{1+\sqrt{17}}{2}\}}[/tex]
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[tex]B)\ \log_5 (3x+1) \leq \log_5 (2x+3) \Rightarrow \log_5 (3x+1) - \log_5 (2x+3) \leq 0 \\\\ \Rightarrow \log_5 \frac{3x+1}{2x+3} \leq 0 \Rightarrow 0 \geq \log_5 \frac{3x+1}{2x+3} \Rightarrow \underbrace{5^0}_{=1}\geq\frac{3x+1}{2x+3} \Rightarrow \\\\ 2x+3 \geq 3x+1 \Rightarrow 3-1 \geq 3x-2x \Rightarrow 2 \geq x \Rightarrow x \leq 2[/tex]
Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existem os logaritmos da inequação:
[tex]\begin{cases} 3x+1\leq0 \Rightarrow x\leq-\frac13 \\\\ 2x+3\leq0 \Rightarrow x\leq-\frac32 \end{cases}[/tex]
O intervalo [tex]x\leq-\frac32[/tex] está contido no intervalo [tex]x\leq-\frac13.[/tex]
Portanto, a solução da inequação é:
[tex]\boxed{S=\{x\in\mathbb{R}|-\frac13\leq x\leq 2\}}[/tex]
