Olá, AgenteRJ.
[tex]A)\ \log_2 (x-3) + \log_2(x-2)<1 \Rightarrow \log_2[(x-3)(x-2)]<1 \Rightarrow\\\\ 1> \log_2[(x-3)(x-2)] \Rightarrow \\\\ 2^1>(x-3)(x-2) \Rightarrow x^2-2x-3x+6<2 \Rightarrow\\\\ x^2-5x+4<0\\\\ \text{\underline{Ra\'izes do polin\^onomio}: }x=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm3}{2}=4\text{ ou }1 \Rightarrow\\\\ (x-4)(x-1)<0[/tex]
[tex]\text{\underline{An\'alise do sinal}: }\\\\ ..(-)..1....(+).....|...(+)...\ \ (x-1)\\ ..(-)...|....(-).....4..(+)...\ \ (x-4)\\ ..(+)..1....(-).....4..(+)...\ \ (x-1)(x-4)[/tex]
Portanto, a desigualdade é satisfeita quando:
[tex](x-4)(x-1)<0\Rightarrow1<x<4[/tex]
Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:
[tex]\begin{cases} x-3\leq0 \Rightarrow x\leq3 \\\\ x-2\leq0 \Rightarrow x\leq2 \end{cases}[/tex]
O intervalo [tex]x\leq2[/tex] está contido no intervalo [tex]x\leq3[/tex].
Portanto, a solução da inequação é:
[tex]\boxed{S=\{x \in \mathbb{R}|3<x<4\}}[/tex]
[tex]B)\ \log \frac13 - \log \frac19 (2-3x)<0 \Rightarrow 0>\log\frac{\frac13}{ \frac19 (2-3x)} \Rightarrow\\\\ 0>\log\frac{3}{(2-3x)} \Rightarrow \underbrace{10^0}_{=1}>\frac3{2-3x} \Rightarrow 2-3x > 3 \Rightarrow \underbrace{-3x > 1}_{\times(-1)} \Rightarrow\\\\ 3x<-1 \Rightarrow x<-\frac13[/tex]
Vamos verificar, agora, para quais valores de x não existe o logaritmo da inequação:
[tex]2-3x\leq0\Rightarrow\underbrace{-3x\leq-2}_{\times(-1)}\Rightarrow3x\geq2\Rightarrow x\geq\frac23[/tex]
Este intervalo não está contido no intervalo de valores de x que satisfazem a inequação.
Portanto, a solução da inequação é:
[tex]\boxed{S=\left\{x \in \mathbb{R}|x<-\frac13\right\}}[/tex]
