Olá, AgenteRJ.
A função logarítmica está definida apenas para logaritmandos maiores que zero.
Explico:
[tex]\text{Se }a^b=c,\text{com }a>0,\text{ ent\~ao necessariamente devemos ter }c>0,[/tex]
[tex]\text{ pois n\~ao \'e poss\'ivel }a^b\leq0,a>0,\text{ para nenhum valor de }b.[/tex]
[tex]\text{Como }a^b=c \Rightarrow b=\log_ac,\text{ ent\~ao}:[/tex]
[tex]\log_ac\text{ existe apenas se }c>0.[/tex]
[tex]\text{Em outras palavras, para }a>0\ \ D(\log_ac)=\{c\in\mathbb{R}|c>0\}, \text{ sendo}\\ D\text{ o dom\'inio}.[/tex]
Os domínios de cada uma das funções do exercício, portanto, são os subconjuntos dos números reais tais que seus respectivos logaritmandos sejam maiores que zero.
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[tex]A)\ f(x) = \log \frac12 \log 2(x\²-1)\\\\ x^2-1=(x+1)(x-1) [/tex]
[tex](x+1)(x-1)>0\\\\ \underline{\text{An\'alise do sinal}}:\\\\ .....(-).......-1...(+)....|.....(+)........\ (x+1) \\ .....(-)...........|....(-)....1....(+)........\ (x-1) \\ .....(+).......-1...(-)....1....(+)........\ (x+1)(x-1)[/tex]
[tex]\therefore\boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x<-1\text{ ou }x>1\}}[/tex]
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[tex]B)\ f(x)= \log \log (x\² + x +2)[/tex]
Por causa do outro logaritmo, devemos ter:
[tex]\log(x^2+x+2)>0 \Rightarrow x^2+x+2>1 \Rightarrow x^2+x+1>0\\\\[/tex]
Como [tex]\Delta=1-4=-3<0,[/tex] não há raízes.
Como a parábola tem concavidade voltada para cima, então:
[tex]x^2+x+1>0,\forall x[/tex]
[tex]\therefore\boxed{D=\mathbb{R}}[/tex]
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[tex]C)\ f(x)= \sqrt{\log(x\²-x-1)}[/tex]
Por causa da raiz quadrada, devemos ter:
[tex]\log(x\²-x-1)\geq0 \Rightarrow x\²-x-1\geq1 \Rightarrow x^2-x-2\geq0 [/tex]
Raízes: [tex]x=\frac{1\pm\sqrt9}2=2\text{ ou }-1[/tex]
Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:
[tex]x^2-x-2\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\{x\in\mathbb{R}|x\leq-1\text{ ou }x\geq2\}}[/tex]
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[tex]D)\ f(x)= \log \log(6x\²-13x+7)[/tex]
Por causa do outro logaritmo, devemos ter:
[tex]\log(6x^2-13x+7)>0 \Rightarrow 6x^2-13x+7>1 \Rightarrow 6x^2-13x+6>0[/tex]
Raízes:
[tex]x=\frac{13\pm\sqrt{169-144}}{12}=\frac32\text{ ou }\frac12[/tex]
Como é uma parábola com concavidade para cima, então entre as raízes temos:
[tex]6x^2-13x+6\leq0 \Rightarrow \boxed{D=\left\{x\in\mathbb{R}|x<\frac12\text{ ou }x>\frac32\right\}} [/tex]
