Olá, Lucas.
a) Vamos construir o seguinte exemplo. Do segundo ao penúltimo algarismo, todos iguais a 1. O último algarismo igual a 2, para que o número seja par.
Assim, chamando o primeiro algarismo de a, temos que:
a + 1 + 1 + 1 + 2 = 2a => a = 5
O número, portanto, é 51112.
Nos itens "b", "c" e "d" abaixo, vamos chamar o primeiro algarismo de a, o segundo de b, o terceiro de c, o quarto de d, e assim por diante.
b) a + b + c + d = 2a
Fazendo b = c = d = 1, temos a + 1 + 1 + 1 = 2a => a = 3
Portanto, o menor número especial de quatro algarismos é 3111.
c) a + b + c + d + ... = 2a => a = b + c + d + ...
Fazendo a = 9 e o restantes dos algarismos todos iguais a 1, de forma a tornar o número o mais extenso possível, temos:
9 = 1 + 1 + 1 + ... => deveremos ter nove algarismos 1.
Portanto, o maior número especial é 9.111.111.111.
d) a + b + c + d = 2a => a = b + c + d
Fazendo a = 9 (maior primeiro algarismo possível), temos b + c + d = 9
Tentemos b=8 => 9 = 8 + c + d => c + d = 1 => c ou d deve ser igual a zero (não pode).
Tentemos, então, b = 7 => 7 + c + d = 9 => c + d = 2 => c = d = 1 (não pode, queremos todos os algarismos distintos).
Fazendo b = 6, temos:
6 + c + d = 9 => c + d = 3 => c = 2 e d = 1
Portanto, o maior número especial com todos algarismos distintos é 9621.
Lembrando ainda que não existe número especial com cinco algarismos todos distintos, pois os valores mínimos para os quatro últimos algarismos seriam 4321 ou 1234 ou etc., cuja soma dá 10 (número com dois algarismos).
