Bom.
Suponhamos que cada pedaço medirá [tex]x.[/tex]
Observe que [tex]x[/tex] deve ser o maior valor possível, de forma que
[tex]\bullet\;\;[/tex] 75 seja múltiplo de [tex]x\,,[/tex]
[tex]\bullet\;\;[/tex] 90 seja múltiplo de [tex]x\,,[/tex]
[tex]\bullet\;\;[/tex] 120 seja múltiplo de [tex]x\,,[/tex]
ou em outras palavras,
[tex]x[/tex] deve ser o maior valor possível, de forma que
[tex]x[/tex] é divisor de 75, 90 e 120.
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O problema consiste em encontrar o máximo divisor comum entre 75, 90 e 120:
[tex]x=\mathrm{mdc}(75,\,90,\,120)[/tex]
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Decompondo cada número em seus fatores primos:
[tex]\begin{array}{r|l}
75&3\\ 25&5\\ 5&5\\ 1
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 75=3\cdot 5^2
\end{array}}[/tex]
[tex]\begin{array}{r|l} 90&2\\
45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 90=2\cdot 3^2\cdot 5
\end{array}}[/tex]
[tex]\begin{array}{r|l} 120&2\\
60&2\\ 30&2\\ 15&3\\ 5&5\\ 1
\end{array}~~~\Rightarrow~~\boxed{\begin{array}{c} 120=2^3\cdot 3\cdot 5
\end{array}}[/tex]
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[tex]x[/tex] é o maior valor, de forma que ele seja divisor dos três números. Então, devemos escolher dentre os fatores primos comuns dos três números, cada um deles elevados ao seu menor expoente:
[tex]\bullet\;\;[/tex] os fatores primos comuns entre os três números são apenas 3 e 5;
[tex]\bullet\;\;[/tex] o menor expoente para o 3 é 1; e o menor expoente para o 5 é 1.
Portanto,
[tex]x=3^1\cdot 5^1\\\\ x=3\cdot 5\\\\ \boxed{\begin{array}{c}x=15\text{ metros} \end{array}}[/tex]
Cada pedaço deve medir 15 metros.
