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U=(-1,-2) e v=(0,-2), determine o ângulo entre os vetores e em seguida, assinale a alternativa correta

Sagot :

Usando fórmula de produto escalar e fórmula de cálculo do ângulo entre vetores, obtém-se:

ângulo entre os vetores = 27º aproximadamente    

( ver anexo 1 )                

Produto escalar, num sistema de coordenadas ortonormal, de dois vetores genéricos:

[tex]\vec A=(a_{1} ~{;}~a_{2}~{;}~ a_{3} ~{;}~\dots{;}~a_{n} )[/tex]

[tex]\vec B=(b_{1} ~{;}~b_{2}~{;}~ b_{3} ~{;}~\dots{;}~b_{n} )[/tex]

é igual a:

[tex]\vec A~\cdot~\vec B = a_{1}\cdot b_{1} +a_{2}\cdot b_{2} +a_{3}\cdot b_{3}+\dots+a_{n} \cdot b_{n}[/tex]

Neste caso os vetores só têm duas componentes.

Primeiro - Cálculo do Produto Escalar entre os dois vetores

[tex]\vec u \cdot \vec v=-1\cdot 0 + (-2)\cdot (-2)=0+4=4[/tex]

O ângulo entre dois vetores calcula-se com a seguinte fórmula:

[tex]\Theta=arccos\cdot \dfrac{\vec u\cdot \vec v}{||\vec u|| \cdot||\vec v||}[/tex]            ( 1 )

[tex]\Theta[/tex] = ângulo entre vetores

[tex]{\vec u\cdot \vec v}[/tex] - produto escalar

[tex]||\vec u ||[/tex] - é a norma do vetor [tex]\vec u[/tex] , ou seja, a dimensão desse vetor    

A norma de um vetor de componentes ( a ; b )  é dada pela seguinte fórmula:

[tex]||\vec u||=\sqrt{a^2+b^2}[/tex]

Segundo - Cálculo das normas de cada vetor

[tex]||\vec u||=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}[/tex]

   

[tex]||\vec v||=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2[/tex]

Voltando à fórmula em ( 1 )

[tex]\Theta=arccos\cdot \dfrac{4}{\sqrt{5}\cdot 2 }[/tex]

[tex]\Theta=arccos\cdot(0{,}89)\\~\\\Theta=27~^\circ[/tex]    

(aproximadamente)  

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Bons estudos.

Att :  Duarte Morgado.

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