De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que a lei de formação da função afim é y = 2x - 1.
Uma função polinomial de 1° grau tem a forma f(x) = ax +b e a ≠ 0.
O coeficiente (a) da variável na função é coeficiente angular; o termo independente (b) na função é o coeficiente linear.
Uma função [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ }[/tex], tal que f(x) = ax² + bx + c, a, b e c reais e a ≠ 0, é uma função quadrática ou função do 2° grau.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf y = f(x) = ax +b\\ \sf y = g(x) = x^{2} \\ \sf P\:(\: 1,1 \: ) \end{cases} } $ }[/tex]
Solução:
Intercepta no ponto P ( 1, 1 ) na reta da função afim.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = ax +b } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 1 = a \cdot 1 +b } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 1 = a+b } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ b = 1 -a } $ }[/tex]
A interceptação da reta com a parábola, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ f(x) = g(x) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ ax + b = x^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ ax + (1-a) = x^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ ax +1-a =x^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -ax -( 1-a) = 0 } $ }[/tex]
Fazendo Δ = 0, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = (-a)^{2} -4 \cdot 1 \cdot [ -(1-a)] } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = a^{2} -4 \cdot [ - 1 +a] } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = a^{2} +4 -4a } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = a^{2} -4a + 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a^{2} -4a + 4 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta =(-4)^{2} -4\cdot 1 \cdot 4 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 16 - 16 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\: (-4) \pm \sqrt{0 } }{2\cdot 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ a = \dfrac{ 4 \pm 0 }{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf a_1 = &\sf \dfrac{4 +0}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2 \\\\ \sf a_2 = &\sf \dfrac{4 -0}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2\end{cases} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf a = 2 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ b = 1 - a } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ b = 1 - 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf b = -\:1 }[/tex]
Lei de formação da função afim:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = ax + b } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 2 x - 1 }[/tex]
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