Com base na resolução da equação logarítmica concluímos que o valor de x = 3, é um número primo e tendo alternativa correta a letra A.
Dados os números reais positivos a e b, b ≠ 1, o logaritmo de b na base a é o expoente x a que se deve elevar de tal modo que:
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_a \: b = x \Leftrightarrow a^{x} = b} $ } }[/tex]
Condições de existência dos logaritmos:
Somente existe [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf \log_a \: b $ }[/tex] se tivemos 0 < a ≠ 1 e b > 0.
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_x \: (x+6) = 2 } $ }[/tex]
Solução:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_x \: (x+6) = 2 } $ }[/tex]
Pelas condições de existência, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf x > 0 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize I}} \\ \\ \sf x+6 > 0 \Rightarrow x > - 6 \quad \raisebox{0.8pt}{\Large\textcircled{\normalsize II}} \end{cases} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \{x\in \mathbb{R}\mid x > 0 \} }[/tex]
Usando a definição de logaritmo, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \log_x \: (x+6) = 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} = x +6 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x^{2} -x - 6 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^{2} -4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\Delta = (-1)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-6) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\Delta = 1 +24 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \Delta = 25 }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} =\dfrac{-\:(-1) \pm \sqrt{ 25 } }{2\cdot 1} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ x = \dfrac{1 \pm 5 }{2} \Rightarrow \begin{cases} \sf x_1 = &\sf \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \quad \:3 \\\\ \sf x_2 = &\sf \dfrac{1 - 5}{2} = \dfrac{- 4}{2} = - 2\end{cases} } $ }[/tex]
Como a condição de existência é x > 0, então 3 ∉ S.
Portanto, 3 é um número primo.
Alternativa correta é a letra A.
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