Após os cálculos realizados, podemos concluir a medida do lado AC mede 10√2 cm.
Triângulo isósceles possuem dois lados congruentes, ou seja, iguais.
Triângulo retângulo possuem três lados, possui um ângulo que mede 90° chamado de reto. O lado que é chamado de hipotenusa é oposto ao ângulo de 90° e os dois lados são os catetos.
Teorema de Pitágoras:
"Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos."
[tex]\Large \boxed{ \displaystyle \text { $ \mathsf{ a^{2} = b^{2} + c^{2} } $ } }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases} \sf \overline{\sf AC} = \:?\: cm \\\sf \overline{\sf AD} = 3\: cm \\ \sf \overline{\sf CD} = \sqrt{149} \: cm \end{cases} } $ }[/tex]
Solução
primeiramente, vamos determinar BD, utilizando o triângulo BCD.
( Vide a figura em anexo ).
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (CD )^2 = (BC)^2 + (BC)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ ( \sqrt{149} )^2 = (y - 3)^2 + (y)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 149 = 9 -6y +y^{2} +y^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 149-90 = 6y + 2y^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{140 = 6y +2y^{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2y^2+6y - 140 = 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = b^2 -\:4ac } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = (-6)^2 -\:4 \cdot 2 \cdot (-140) } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta = 36 +1\:120 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \Delta =1\:156 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \dfrac{-\:b \pm \sqrt{ \Delta } }{2a} = \dfrac{-\:(-6) \pm \sqrt{ 1\:156 } }{2 \cdot 2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = \dfrac{6) \pm 34}{4} \Rightarrow\begin{cases} \sf y_1 = &\sf \dfrac{6 + 34}{4} = \dfrac{40}{4} = \:10 \\\\ \sf y_2 = &\sf \dfrac{6- 34}{2} = \dfrac{- 28}{4} = - 7 \: negativo\end{cases} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \overline{\sf AB} = \overline{\sf AD} + \overline{\sf BD} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \overline{\sf AB} = 3 \: cm + 7\: cm = 10\: cm } $ }[/tex]
O enunciado pede que calculemos a medida do lado AC.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (AC )^2 = (AB)^2 + (BC)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (AC )^2 = (10)^2 + (10)^2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (AC )^2 = 100 + 100 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ (AC )^2 = 200 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ AC = \sqrt{2 \cdot 100} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ AC= \sqrt{100} \: \cdot \sqrt{2} } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf AC = 10\:\sqrt{2} \: cm }[/tex]
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