determine 3 números ímpares e consecutivos sabendo que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.
Olá, Foi.
A característica geral dos números ímpares é que são números consecutivos a um número par.
Portanto, a representação geral de um número ímpar é:
[tex]\text{Como }2n\text{ \'e par},n\in\mathbb{N} \Rightarrow \boxed{2n+1\text{ \'e \'impar}}[/tex]
Uma sequência de três números ímpares consecutivos é, portanto:
[tex](2n+1,2n+3,2n+5)[/tex]
O problema pede três números ímpares consecutivos tais que seu produto é igual a sete vezes a sua soma.
Portanto:
[tex](2n+1)(2n+3)(2n+5)=7(2n+1+2n+3+2n+5) \Rightarrow \\\\ (4n^2+8n+3)(2n+5)=7(6n+9) \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+46n+15=42n+63 \Rightarrow \\\\ 8n^3+36n^2+4n-48=0 \Rightarrow \ (\div4)\\\\ 2n^3+9n^2+n-12=0 \Rightarrow \\\\ [/tex]
Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:
Se [tex]\frac{p}{q}[/tex] é raiz da equação polinomial [tex]a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0=0,[/tex]
então:
[tex]p[/tex] é divisor de [tex]a_0[/tex] e [tex]q[/tex] é divisor de [tex]a_n.[/tex]
No caso, para que [tex]2n^3+9n^2+n-12=0[/tex] possua raízes racionais do tipo [tex]\frac{p}{q},[/tex] devemos ter:
(1) [tex]p[/tex] divisor de 12, ou seja: [tex]p=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12[/tex]
(2) [tex]q[/tex] divisor de 2, ou seja: [tex]q=\pm1,\pm2[/tex]
Testando-se os valores possíveis de [tex]\frac{p}{q}[/tex] na equação, verificamos que [tex]n=\frac{p}{q}=\frac{1}{1}=1[/tex] é uma solução desta equação.
Portanto, os três números ímpares consecutivos cujo produto é igual a sete vezes o valor de sua soma são:
[tex](2n+1,2n+3,2n+5)=(2\cdot1+1,2\cdot1+3,2\cdot1+5)=\\\\ =\boxed{(3,5,7)}[/tex]
