Liccavieira, boa noite.
(1) [tex]AX=B[/tex]
Multiplicando por [tex]A^{-1}[/tex] à esquerda dos dois lados da igualdade, temos:
[tex]A^{-1}AX=A^{-1}B \Rightarrow IX=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B[/tex]
(2) [tex]XA=B[/tex]
Multiplicando por [tex]A^{-1}[/tex] à direita dos dois lados da igualdade, temos:
[tex]XAA^{-1}=BA^{-1} \Rightarrow XI=BA^{-1} \Rightarrow X=BA^{-1}[/tex]
(3) [tex]AXB=C[/tex]
Multiplicando por [tex]A^{-1}[/tex] à esquerda e [tex]B^{-1}[/tex] à direita dos dois lados da igualdade, temos:
[tex]A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow IXI=A^{-1}CB^{-1} \Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}[/tex]
(4) Como [tex](AB)^{-1}AB=I [/tex], temos:
[tex]\Rightarrow (AB)^{-1}ABB^{-1}=IB^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1}AI=B^{-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow (AB)^{-1}A=B^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1}AA^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/tex]
[tex] \Rightarrow (AB)^{-1}I=B^{-1}A^{-1} \Rightarrow (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}[/tex]
