Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
a x + b = 0
a x² + bx + c = 0
a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
2 x² + 7x + 5 = 0
3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
4 x² + 6x = 0
3 x² + 9 = 0
2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a
Exemplos gerais
4x²=0 tem duas raízes nulas.
4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
4x²+5=0 não tem raízes reais.
4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
x² + 6x = 0
2 x² = 0
3 x² + 7 = 0
2 x² + 5 = 0
10 x² = 0
9 x² - 18 = 0
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a
Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.Equação a b c Delta Tipos de raízes
x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes
x²-10x+25=0
x²+2x+7=0
x²+2x+1=0
x²+2x=0
O uso da fórmula de Bhaskara
Você pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
I
