Utilizando o discriminante da fórmula de Bháskara, as raízes da equação são:
1ª) (-5 + 5√3)/2 e (-5 - 5√3)/2
2ª) √5/5 e 0
Discriminante ou Delta é a maneira de calcular equações do 2º grau conforme a fórmula de Bháskara:
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} $}[/tex] [tex]\large \text {$Com:~~Discriminante = \Delta= b^2-4.a.c $}[/tex]
Os coeficiente de uma equação do 2º grau são: [tex]\large \text {$ ax^2 + bx + c $}[/tex]
Vamos calcular:
1ª)
[tex]\large \text {$2x^2 + 10x - 25 $}[/tex] [tex]\large \text {$\implies a=2,~~b=10,~~c=-25 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= b^2-4.a.c $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 10^2-4.2.(-25) $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 100-4.-50 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 100+200 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 300 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} \Rightarrow x= \dfrac{-10 \pm \sqrt {300} }{2.2} \Rightarrow x= \dfrac{-10 \pm \sqrt {300} }{4} $}[/tex]
⇒ Fatorando √300 = 2.5.√3 = 10√3 Veja a figura anexa
[tex]\large \text {$ x'= \dfrac{-10 + 10\sqrt {3} }{4} \Rightarrow \boxed{ x'=\dfrac{-5+5\sqrt{3}}{2} } $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x'= \dfrac{-10 - 10\sqrt {3} }{4} \Rightarrow \boxed{ x'=\dfrac{-5-5\sqrt{3}}{2} } $}[/tex]
2ª)
[tex]\large \text {$ \sqrt{5} ~x^2 -x = 0 $}[/tex] [tex]\large \text {$\implies a=\sqrt{5},~~b=-1,~~c=0 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= b^2-4.a.c $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= (-1)^2-4.\sqrt{5} .0 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 1 - 0 $}[/tex]
[tex]\large \text {$\Delta= 1 $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x= \dfrac{-b \pm \sqrt {\Delta} }{2.a} \Rightarrow x= \dfrac{-(-1) \pm \sqrt {1} }{2.\sqrt{5}} \Rightarrow x= \dfrac{1 \pm 1 }{2\sqrt{5} } $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x'= \dfrac{1 + 1 }{2\sqrt{5} } \Rightarrow x'= \dfrac{\backslash\!\!\! 2}{\backslash\!\!\!2\sqrt{5} } \Rightarrow x'=\dfrac{1}{\sqrt{5} } \dfrac{.\sqrt{5} }{.\sqrt{5} } \Rightarrow \boxed{x' = \dfrac{\sqrt{5} }{5} } $}[/tex]
[tex]\large \text {$ x''= \dfrac{1 - 1 }{2\sqrt{5} } \Rightarrow x''= \dfrac{0}{2\sqrt{5} } \Rightarrow \boxed{x'' = 0 } $}[/tex]
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