a) O núcleo da transformação linear é {0} e a imagem é [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
b) Pelo teorema do núcleo e da imagem podemos afirmar que T é um isomorfismo e a inversa de T é [tex]T^{-1} (x, y) = (\dfrac{2x + y}{5}, \dfrac{-x + 2y}{5})[/tex].
O teorema do núcleo e da imagem
O núcleo é o conjunto de todos os vetores cuja imagem é o vetor nulo. Portanto, para a transformação linear dada na questão, temos que:
[tex]ker(T) = \{ 0 \}[/tex]
De fato, o sistema de equações lineares associado é:
2x - y = 0
x + 2y = 0
E a única solução desse sistema é x = y = 0.
Pelo teorema do núcleo e da imagem, podemos escrever:
[tex]dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = 2[/tex]
Como a dimensão do núcleo é 0, temos que, a dimensão da imagem é 2 e, portanto, a imagem dessa transformação é igual a [tex]\mathbb{R}^2[/tex]
Observando o núcleo e a imagem obtidos, podemos afirmar que a transformação é sobrejetora e injetora, logo, é um isomorfismo.
Como:
2x - y = 1
x + 2y = 0
x = 2/5
y = -1/5
E:
2x - y = 0
x + 2y = 1
x = 1/5
y = 2/5
A transformação inversa de T é:
[tex]T^{-1} (x, y) = (\dfrac{2x + y}{5}, \dfrac{-x + 2y}{5})[/tex]
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#SPJ1
