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um automóvel faz metade de um percurso com velocidade média de 40 km/h e a outra metade com velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade média do automóvel no percurso todo ?
a) 16 km/h b) 48 km/h c)64 km/h d)24 km/h e)32 km/h​

Sagot :

Resposta: b) km/h

Explicação passo a passo:

Um automóvel faz metade de um percurso com velocidade média de 40 km/h e a outra metade com velocidade média de 60 km/h. Qual a velocidade média do automóvel no percurso todo?

—————

    Solução:

Suponha que a distância percorrida no percurso total seja  d = 2x.

Na 1ª metade do percurso:

    •   velocidade média:  v₁ = 40 km/h;

    •   distância percorrida:  d₁ = x;

    •   tempo para percorrer a 1ª metade do percurso:  Δt₁.

De acordo com a equação da velocidade média, temos

                 d₁

    v₁  =  ———

                Δt₁

    v₁ · Δt₁ = d₁

                  d₁

    Δt₁  =  ———          (i)

                  v₁

Na 2ª metade do percurso:

    •   velocidade média:  v₂ = 60 km/h;

    •   distância percorrida:  d₂ = x;

    •   tempo para percorrer a 2ª metade do percurso:  Δt₂.

Novamente, de acordo com a equação da velocidade média, temos

                 d₂

    v₂  =  ———

                Δt₂

    v₂ · Δt₂ = d₂

                  d₂

    Δt₂  =  ———          (ii)

                  v₂

—————

No percurso total:

    •   velocidade média:  v;

    •   distância percorrida:  d = d₁ + d₂ = 2x;

    •   tempo para percorrer o percurso total:  Δt = Δt₁ + Δt₂.

Pela equação da velocidade média, a velocidade no percurso total é

                d

    v  =  ———

               Δt

                    2x

    v  =  ——————

               Δt₁ + Δt₂

                    2x

    v  =  ——————

              x          x

           ——  +  ——

             v₁         v₂

Simplificando o numerador e o denominador por  x,  temos

                      2

    v  =  ———————

                1           1

             ——  +  ——

               v₁          v₂

De acordo com a fórmula acima, temos que a velocidade média no percurso total é igual à média harmônica das velocidades médias em cada trecho.

Perceba também que a velocidade média não depende do comprimento do trecho total.

Substituindo os valores conhecidos, temos

                      2

    v  =  ———————

                 1           1

              ——  +  ——

               40        60

Multiplique o numerador e o denominador por  mmc(40, 60) = 120  para simplificar os cálculos:

                       2 · 120

    v  =  ——————————

                120         120

              ———  +  ———

                 40           60

                 240

    v  =  —————

             30 + 20

              240

    v  =  ———

               50

    v = 48 km/h   <———   esta é a resposta.