A sequência encontrada foi: Verdadeira, Verdadeira, Falsa, Verdadeira, Falsa, Falsa, Falsa, Verdadeira.
Vamos analisar cada afirmativa.
1. Verdadeira.
Considere que a(ij) é o termo geral da matriz α.A^t. Então, a(ij) = α.a'(ji) = (α.a')(ji), ou seja, a(ij) também é o termo geral de (α.A)^t.
2. Verdadeira.
A soma das transpostas é a transposta da soma.
4. Falsa.
Não necessariamente as duas matrizes serão nulas. Por exemplo, se tivermos as matrizes quadradas:
A = [1 2]
[1 2]
B = [2 -2]
[-1 1]
As matrizes são não nulas e a multiplicação de A por B resulta na matriz nula.
5. Verdadeira.
Ao multiplicarmos a matriz A pelo escalar k1, a matriz B pelo escalar k2 e multiplicarmos as duas matrizes, é o mesmo que multiplicar a multiplicação AB pela multiplicação pelos escalares.
6. Falsa.
Pela propriedade 5, temos que (-A).(-B) = A.B, porque menos com menos dá mais.
Por exemplo:
A = [1 2]
[1 2]
-A = [-1 -2]
[-1 -2]
e
B = [2 3]
[4 2]
-B = [-2 -3]
[-4 -2].
Multiplicando (-A) por (-B), obtemos a matriz:
(-A).(-B) = [10 7]
[10 7]
7. Falsa.
Não necessariamente AB é igual a BA.
Por exemplo:
A = [2 0]
[2 0]
e
B = [0 0]
[0 2]
Então A.B é a matriz nula, mas B.A não é a matriz nula.
8. Falsa.
Observe que se
A = [5 -1]
[25 -5]
então A² é a matriz nula.
9. Verdadeira.
Considere que a matriz A tem m linhas e n colunas. Então A(mxn).A(mxn) só será possível se m = n.
Assim, teremos uma matriz quadrada.
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