De acordo com os dados do enunciado e solucionado podemos afirmar que:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S = \left\{x\in\mathbb{R} \mid x < -\: \dfrac{5}{4} \right \} } $ }[/tex]
Não tendo nenhuma alternativa correta no conjunto Z.
Conjunto dos Números Inteiros (Z) que reúne todos os elementos dos números naturais (N), tanto para negativos quanto para positivos; são representados:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\} } $ }[/tex]
Conjunto dos números racionais (Q) é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração; são representados:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{\mathbb{Q} = \left\{-1, -\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{3}, 5, \dotsi \right\} } $ }[/tex]
Um número racional (Q) é todo aquele que pode ser escrito na forma de uma fração.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \mathbb{Q} = \left\{x / x = \dfrac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \right\} } $ }[/tex]
Conjunto dos números reais (R) é formado pela união (U) de outros quatro conjuntos numéricos: naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I).
Inequações do 1° grau é toda toda desigualdade que envolve expressões algébricas e apresenta de forma:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf ax +b > 0 \\ \sf ax+b \geq 0 \\ \sf ax+b < 0 \\ \sf ax+b \leq 0 \end{cases} } $ }[/tex]
Exemplos:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad x - 3 > 0 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \bullet \quad 5x + 10\geq 0 } $ }[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2x}{3} - (x+1) > x +\dfrac{2}{3} } $ }[/tex]
Resolvendo equações do primeiro grau.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2x}{3} - (x+1) > x +\dfrac{2}{3} } $ }[/tex]
Primeiramente, devemos achar o m.m.c (1,3) = 3:
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2x}{\diagup\!\!\!{ 3}} - 3 \cdot\dfrac{3x+1)}{ \diagup\!\!\!{ 3}} > \dfrac{3x}{\diagup\!\!\!{ 3}} +\dfrac{2}{ \diagup\!\!\!{ 3}} } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x -3 \cdot (x+1) > 3x + 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x - 3x-3 > 3x + 2 } $ }[/tex]
Isolando as variáveis conservando a regra de sinais.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x - 3x- 3x > +3 + 2 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2x - 6x > 5 } $ }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{-4x > 5 } $ }[/tex]
Devemos multiplicar por ( - 1 ), necessariamente inverter o sinal desigualdade.
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 4x < - 5 } $ }[/tex]
[tex]\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x < -\: \dfrac{5}{4} }[/tex]
[tex]\Large \displaystyle \text { $ \mathsf{ S = \left\{x\in\mathbb{R} \mid x < -\: \dfrac{5}{4} \right \} } $ }[/tex]
O enunciado diz que a inequação está z, logo a solução está no conjunto Q ou R, o enunciado diz que a solução está no conjunto z. Não tendo nenhuma alternativa correta.
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